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1、席位分配问题的D’hondt模型和相对尾数模型摘要：讨论公平席位分配的模型已有很多。本文首先用比例加惯例法、Q值法、D’hondt法对问题中名额进行了分配，再对D’hondt法的合理性进行了分析，并在Q值法对绝对尾数（绝对不公平度）的处理方式基础上，提出了相对尾数模型，并讨论了其满足Young公理的1，3，4条；在模型求解上，全部由MATLAB程序来实现名额分配。关键词：相对尾数Balinsky&Young不可能定理MATLAB正文1问题复述公平的席位分配问题是一个非常有趣而重要的问题，它在政治学、管理学和对策论等领域具
2、有广泛的应用价值。处理这个问题的最早的方法是Hamilton法，即比例加惯例法；后来出现了Q值法；1974年M.L.Balinski和H.P.Young引入了席位分配问题的公理体系研究方法，并于1982年证明了同时满足五个公理的席位分配方法是不存在的；因此，我们只能根据实际建立在一定公平准则下成立并尽量多的满足Young公理的算法。这里，我们需要理解并运用比例加惯例法、Q值法、D’hondt法对宿舍委员会名额进行分配，继而提出更优的公平分配席位的方法。2模型假设2.1合理假设2.1.1比例加惯例法、Q值法等分配模型均为已
3、知；2.1.2各个宿舍相互独立互不影响，人数保持不变；2.1.3委员分配以各宿舍人数为唯一权重。2.2符号约定符号意义第个宿舍的Q值第个宿舍的人数第个宿舍分配的名额总人数总名额数第个宿舍的理想分配名额总席位增加一个时第个宿舍的理想分配名额第个宿舍的分配比例，即第个宿舍的绝对尾数值第个宿舍的相对尾数值总席位增加一席时第个宿舍的相对尾数值按比例分配后剩余名额3模型的建立与求解3.1按比例加惯例模型分配根据比例加惯例分配模型的原理，编写MATLAB程序实现（附录-程序1，2，3，附录-输入及运行结果1），结果如表所示：表1（比
4、例加惯例法分配结果）：宿舍学生人数10个席位的分配15个席位的分配比例分配的席位惯例分配的结果比例分配的席位惯例分配的结果A2352334B3333345C4324466总数100091013153.2按Q值法模型分配首先用比例分配法对名额进行初步分配，再根据表达式对剩下的名额进行分配，编写MATLAB程序实现求解（附录-程序4，5，附录-输入及运行结果2）：表2（Q值法分配结果）：宿舍学生人数10个席位的分配15个席位的分配比例分配名额Q值最终分配名额比例分配名额Q值最终分配名额A23529204.17234602.0
5、84B33339240.75345544.455C43249331.2564443.436总数100091013153.3D’hondt模型3.3.1模型建立设，分别表示宿舍总人数和总分配席位数，()表示各宿舍人数，令()，则得到一个数列，将该数列按递减顺序重新排列，得到，其中表示中第大的项。取中前项，则相应得到()，,,即为按D’hondt模型分配的结果。3.3.2按D’hondt模型分配根据建立的D’hondt模型，编写MATLAB程序求出结果（附件-程序6，附录-输入及运行结果3）：表3（D’hondt模型分配结果
6、）：宿舍人数10个名额的分配15个名额的分配A23523B33335C43257总数100010153.4相对尾数模型3.4.1模型准备讨论一般情况:个宿舍人数分别为,,总人数为,待分配的席位为个,理想化的分配结果是(),满足,记()。显然,若全为整数,应有=(),当不全为整数时,需要确定同时满足下面公理的分配方案。公理一：(),即取或之一,其中=,=,表示的整数部分。公理二：,,即总席位增加时,各宿舍的席位数不应该减少。公理一显然满足Balinsky&Young不可能定理(见附录)中的公理4（公平分摊性）,公理二满足其
7、的公理1（人口单调性）和公理3（名额单调性）。令,称其为对第个宿舍的绝对尾数值。令,称其为对第个宿舍的相对尾数值。3.4.2模型建立与求解由于人数都是整数,为使分配趋于公平,需所有的越小越好,所以趋于公平的分配方案应该是最大的达到最小,即所有的达到最小。为方便起见,首先考虑只有两个宿舍的情形,即,,且,和不全是整数(实际上,他们同为整数或小数)。记,为总席位增加一席时的分配结果和相对尾数。给出定理:定理:以下分配方案满足公理一,二，1)若,且,则取,,即按比例加惯例法分配;2)若,则取,;3)若,则取,。定理证明见附录。
8、按照定理，对三个宿舍的情形进行讨论。设,,全部为零(实际上,如果有一个为零,即是按两个宿舍分配),可以做以下分配:1)当时,按比例分配取整后,剩余的席位分配给绝对尾数较大的宿舍,即按比例加惯例法分配;2)当时,按比例分配后,若剩余一个席位,则分配给第一个宿舍,若剩余两个席位,则分配一席给第一个宿舍,另外一席分配给第二
