有限单元法 第6章 平板弯曲问题的有限元分析

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1、第6章平板弯曲问题的有限元分析教学提示：对于工程中经常遇到的不规则薄板，经典理论通常显得无能为力，此时必须运用数值方法进行分析。本章就平板弯曲问题的有限元分析进行了介绍，分别运用三角形单元、矩形单元、八结点四边形等参单元等单元划分形式对平板弯曲问题进行介绍，包括位移模式、单元分析、整体分析、等效结点荷载计算等方面。教学要求：本章要求学生重点掌握运用三角形单元进行薄板的有限元分析，包括位移模式、单元分析、整体分析、等效结点荷载计算等。同时要熟悉矩形单元的运用，了解八结点四边形等参单元的分析过程。6.1薄板受弯分析的基本方程当薄板上受有一般载荷时

2、，总可以把个荷载分解为两个分量：一个是作用在薄板中面内的中面荷载（也称纵向荷载）；另一个是垂直于中面的法向荷载（也称横向荷载）。对于中面荷载，可以认为它们沿薄板的厚度均匀分布，因而它们所引起的位移、应变和应力，可以按平面应力问题进行分析。横向荷载将使薄板发生弯曲和翘曲，它们所引起的位移、应变和应力，应按薄板弯曲问题进行计算。当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面称为弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移称为挠度。本节只介绍薄板弯曲的小挠度理论，即薄板虽然很薄，但仍具有相当的弯曲刚度，因而它的挠度远小于其厚度。6.1.1基本假设分析薄板弯曲的挠度问

3、题时，和材料力学中分析直梁的弯曲问题时相似（薄板的中面相当于直梁的轴线，薄板的弹性曲面相当于直梁的挠曲线），也采用一些由实践经验得到的基本假设，使问题大大简化，但同时又能在一定程度上反映实际情况。这些基本假设是：（1）薄板的法线变形后没有伸缩。（2）变形前的中面法线在变形后仍是弹性曲面的法线。（3）薄板中面内各点，没有平等于中面的位称。（4）忽略挤压应力所引起的变形。6.1.2几何方程取薄板的中面为xy面，z轴垂直于中面，如图6.1所示。由假设（1）可知，，再由，可得。也就是说，中面法线上的所有各点具有相同的位移　，即弹性曲面的挠度。根据假设（

4、2），可以推知：薄板的法线（z方向线段）与x方向或y方向的线段保持垂直，即没有剪应变，也就是：上式也可写成：对式（6-1）进行积分，注意到　只是x和y的函数，不随z而变，因而得：（6-2）（6-1）假设（3）可以表示为　　　，　　　，代入到式（6-2）得：于是式（6-2）就简化为：（6-3）现用挠度来表示应变，不难得到：这就是弯曲薄板的应变与挠度之间的几何方程。（6-4）在小变形情况下，　　　和　　　分别为弹性曲面在x和y方向的曲率　和　，而　　　　为弹性曲面在x和y方向的扭率　。这三个参数称作弹性曲面的弯扭变形分量，它们完全确定了薄板内各点的

5、应变分量。用矩阵可表示为：（6-5）将上式代入到式（6-4），得到：（6-6）从上式中可以看出，薄板内所有各点的应变分量都可由弹性曲面的弯扭变形求出。因此，有时也把式（6-5）称作薄板弯曲问题的几何方程。6.1.3物理方程假设（4）说明：可以忽略挤压应力　引起的变形。因此薄板内各点的应变分量可用应力分量来表示，即：这和薄板平面应力问题中的物理方程相同，由式（6-7）解出应力，可得：（6-7）将式（6-4）代入上式，得到用挠度表示的应力分量，用矩阵来表示可写成：（6-8）（6-8）式中：（6-9）在薄板的弯曲问题中，由于大多数情况下，都很难使得应

6、力分量在薄板的侧面上（板边上）精确地满足应力边界条件，而只能使这些应力分量所组成的内力整体地满足边界条件，因此，有必要考察薄板横截面上的内力。从薄板内取出一个平行六面体，它在x和y方向上具有单位宽度，在z方向的高度为t（图6.3）。在x为常量的横截面上，作用有　和　。由于　和　都和z成正比，所以它们在薄板全厚度上的代数和分别等于零。只可能分别合成弯矩和扭矩。用　表示由　所合成的单位宽度上的弯矩，则得：将式（6-8）中的　的表达式代入上式，并对z积分，得到与此相似，应力分量　将合成扭矩将式（6-8）中的　表达式代入上式，并对z积分，得到（6-11

7、）（6-10）同样，在y为常量的横截面上，每单位宽度上的　和　也分别合成如下的弯矩和扭矩在这里可以看到，由剪应力　和　的互等关系，得到扭矩　和　的互等关系。将式（6-10）、（6-11）和（6-12）中的第一式合并起来，用矩阵表示，则有（6-12）其中是薄板弯曲问题的弹性矩阵，它等于平面应力问题中的弹性矩阵乘以　　　。式（6-13）表示了薄板的内力与应变两者之间的关系，因而是薄板弯曲问题中的物理方程。（6-13）（6-14）弯矩和扭矩　、　、　、　的方向及其作用面的位置示于图6.4a中。按右手螺旋法则用双箭头矢量来表示力偶，如图6.4b所示（图

8、中所示各力偶的方向均为正）。从式（6-13）中解出　　　　、　　　　、　　　　，再代入式（6-8），就得到各应力分量与内力之间的关系式。图6.4（a）