山东农业大学自动化综合实验指导书倒立摆

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1、第三章单级倒立摆3.1单级倒立摆的数学建模小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。导轨截面成H型，小车在轨道上可以口由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。图1单级倒立摆系统数学模型倒立摆系统的模型参数如下小M小车质量1.096Kg；m摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secI摆杆质量0.0034kg*m*m2摆杆逬动轴心到杆质心的长度0.25mT采样频率0.005s下面N和P为小车与摆杆相互作用力的

2、水平和垂直方向的分量。分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：Mx=F-bx-N由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下而等式:d2dt2(x+1sin0)(2)•••cN=mx+ml0cos0-ml0^sin&把这个等式代入（1）式屮，得到系统的第一个运动方程：（M+m）x+/?x+ml3cos0-ml02sin0=F（3）为了推岀系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进行分析，得到下面的方程：P-mg=-ml0sin6-mlOcos。(4)力矩平衡方程如下：-PlsinO-Nlcos=10(5)方程中力矩的方向，由于&=兀+0,cos0=-c

3、os6sin0=-sin&,故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N,得到第二个运动方程：(/+ml2p+mglsin0--mixcos0(6)假设0与1(单位是弧度)相比很小，即0〈〈1,则可进行近似处理:d0_dt用u代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如一H：2“2cos&=-l,sin&=-0,=0H/+加厂“一mgl(/)=mix(7)[(M+m)x+bx-ml(/)=u对方程(7)进行拉普拉斯变换，得到：f(/+ml2s2-=mlX(5)52⑻[(M+m)X(s)s2+bX(5)5—=U(s)(推到时假设初始条件为o)贝0,摆

4、杆角度和小车位移的传递函数为：20(s)misX(s)(/+ml2)s2-mgl将上述参数代入，摆杆角度和小车位移的传递函数为:0(巧0.0272552X(s)0.010212552-0.26705摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：0(s)ml4(s)(/+ml2js2-mgl将上述参数代入，摆杆角度和小车加速度Z间的传递函数为:0(s)0.0272552A(5)0.0102125异—0.26705摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：q如)F(s)0G)0100_•Xn一(/+加尸)6m2gl2oX••JI(M+m)+Mml2/(M+m)+

5、Mini2Xd00010••00-mlbmgl(M+m)oI(M+m)4-Mml2I(M+m)+Minl2以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为:+I(M+m)+Mtn!2I(M+m)+Mml20ml0I+ml24b(I+ml2)3(M+m)mgl影bmgl,SS""S"~Sqqqq=[(M+〃)(/+ml2)-m2l2将上述参数代入，摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数:2.35655sF(5)?+0.0883167?—27.9169s—2.30942XX■100o-X+oA001000dy=ii将上述参数代入,以外界作用力作为输入的系统状态

6、空间表达式为:x010000-0.08831670-0.2356550.62931727.828500100.883167+02.35655100001000u0以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式:x••X000=001000000空410010XXL0」L°Xo-X+O000d0001将上述参数代入，以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式:Aq1U1-1;d1U1iVuity■X_0••X0d0••0_0100000029.4xX—10000010/I一-oO一一+•X0・0■3.2系统的可控性、可观测性分析对于连续时间系统：X=A

7、X+Buy-CX+Du系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组是线性无关的，或nXn维矩阵［圧ABAn-}B］的秩为n。系统的输出可控条件为：当且仅当矩阵cB:CABCA2B:-

8、kV-45.42,-5.42)令

9、s/-a

10、=o得系统的开环特征方程为（o,o,系统状态可控性矩阵的秩二4二