影響學生解決比例問題因素之探討-tmueedutw

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1、分析學生解比例問題文獻-國小數學課程與教學的建議沈明勳劉祥通嘉義大學數學教育研究所（投稿日期：91年3月15日；修正日期：91年5月1日、5月31日；接受日期：91年6月3日）摘要且解比例問題能力是決定在日常生活中，比例的相關用語經常被用來描述生活的問題能否學習更高層次數學的重要分界。由此可見，發展比例推理能力的重要性。但是，在學生數學知識的學習過程中，比例問題卻成了國小學生的難題。於是，比例問題的教學就成為國小教師的重要課題。為了幫助教師解決教學上的難題，本文從比例問題的相關文獻中，介紹比例的意義、描述比例關係的本質、探索解比例推理時所需具備的基本能力、

2、列出小學生的解題策略，進一步分析影響學生解比例問題的相關因素。最後，根據文獻的解析提出了比例問題課程編排上與教學上之建議，供課程編排者和教學者參考。關鍵詞：比例問題、解題策略、國小數學壹.前言比例問題在國小學生來說是一個重要的主題，而它在課程中所出現的比重以及相關概念的引用佔了很大的部分，且在日常生活中也常常應用到比例的概念，因此，對於學習更高層次的數學概念來說，比例概念將會是一項基礎的能力。例如，國中階段學習三角形的相似概念，以及高中的三角函數及黃金比例分割，學習前都要有基本的比例概念，才能充分了解這些題材。因此，我們可以說比例概念的建立可以是基礎數學（

3、國小階段）與學習高等數學（國高中及大學）的橋樑。而解比例問題對於數學學習的重要性就不可言喻了。比例概念既然如此重要，但研究顯示：許多的成年人並不熟悉比例的概念（Capon&Kuhn1979L林福來（1984）的研究也指出：多數的國中學生對於處理比例問題亦有困難。究竟哪些因素影響解比例問題呢？數字問題的倍數關係與否是很重要的關鍵（Noelting,1980b;Hart,1981），其次，問題素材類型也是影響學生解比例問題成功與否的關鍵因素。另外，根據Lamon（1993）以及楊錦連（1999）的研究顯示，不同語意結構的比例問題會影響學生解題的表現。因此學生在

4、數學知識的學習過程中，比例問題儼然成為國小學生的難題，而比例問題的教學就成為國小教師所應注意的重要課題了。為了幫助教師解決教學上的難題，本文從相關文獻中，介紹比例的意義、描述比例關係的本質、探索解比例推理時所需具備的基本能力、列出國小學生的解題策略，並進一步分析且歸納出影響學生解比例問題的相關因素。最後，根據文獻的解析提出了比例問題課程編排上與教學上之建議，供往後課程編排者和教學者的參考。貳、相關文獻分析一.比、比值.比例的意義當我們要表示兩個數量A和B之間的對等關係時，用數學符號A:B來代表，這就是「比」。但是Hart(1981)則認為比是表示兩個數量之

5、間比較的關係。例如，棒球比賽中兩隊的成績比數用1比2(1:2)表示，從比較的觀點來看，比可以表示兩個數量之間的一種關係，也可以作為傳達相對大小的抽象意義的一種比較性指標(Lamon,1995另外，ra:bj中將前項(a)除以後項(b)所得的商稱為「比值」，而「比值」通常是以分數的形式表「比例」的基本定義是當兩個比的比值相等時，就稱這兩個比成比例。「比例關係」則是利用具有相同對等關係的比或比值所構成的關係式，我們稱之為比例關係。就如同將相同的單位量做不同的等分除的分割，會有不同的等值分數產生，而將等值分數寫成等式，則就產生比例關係的概念。二、比例關係的特質

6、提到比例，就要說明比例關係間的變化，一般來說比例關係通常是以a:b=c:d的形式呈現，我們需清楚四項數量之間的彼此關係，才可以知道比例關係的真正意涵。以下針對比例關係中「共變性」與「不變性」的特質描述如下：Lamon(1995)認為組成比的數量之間，在相同的情況下數量間是具有「共變性」，而比與比之間的關係則保有「不變性」。換句話說，比例關係中各數量之間是存在所謂共變(covariance)與不變(invariance)的關係,是一種互依互存且緊密的變動關係。舉例來說，「拍賣會上,1顆籃球可以換5顆棒球,現在我們有3顆籃球,可以換幾顆(15)棒球呢？」對於這

7、樣的問題，我們知道籃球：棒球數目的比是1:5與3:45,這兩個比例關係的比值都是丄，5是「不變的」；但是當我們將1顆籃球變成3顆籃球時，為了要維持籃球數與棒球數不變的比例關係(比值是£),原本的5就變為15,也就是「15」隨著「3」共變以維持比值是「£」的等價關係。這種比例關係中前後項相關且隨著變動，就是前後項「共變的」關係。比例推理的基本能力在數學的解題過程中，解題者本身的學識能力與是否成功解題是息息相關的。因此，影響學生解題的因素首要考慮學生的基本能力為何？什麼先備知識是有利於解比例問題的數學知識，以下提出五點：(1).因數與倍數的瞭解，(2).乘除法

8、情境的熟悉，⑶.有理數(rationalnumber)的相關概念，