等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明1

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1、32.4等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明知识回顾：1、已知四边形ABCD中AB∥CD，AD≠BC，则四边形ABCD是（）形，AB、CD叫（），AD、BC叫做（）AB与CD间的距离叫做(）。梯梯形的底梯形的腰梯形的高2、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC于点B，则梯形ABCD叫做（）梯形。直角3、在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BD，则梯形ABCD是（）梯形。等腰题设逆命题：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。等腰梯形在同一底上的两个角相等。结论等腰梯形性质定理：已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C求证：梯形ABCD是等腰梯形ABCD证明：过A作AE∥CD，交BC于E

2、，得∠AEB=∠C.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形∵∠B=∠C，∴∠B=∠AEB∴AB=AE.∵AD∥EC，AE∥CD，∴AE=DC∴AB=DC.∴梯形ABCD是等腰梯形。E等腰梯形的判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。等腰梯形的两条对角线相等。题设逆命题：两条对角线相等的梯形是等腰梯形结论等腰梯形性质：ADBC例2求证：两条对角线相等的梯形是等腰梯形已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD求证：AB=DC分析：EΔABC≌ΔDCBAC=BD，BC=BC12∠ACB=∠DBC用已知AC=BD来构造等腰三角形∠1=∠2=∠X知识拓展：用下面方法证明等腰梯形的判定定理

3、⑴如图，分别延长梯形ABCD的腰BA、CD设它们相交于点E.通过证明ΔEAD和ΔEBC是等腰三角形，来证明定理AEDCB12已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C求证：AB=CD证明：∵∠B=∠C又∵AD∥BC∴∠1=∠2∴EB=EC∴∠1=∠B,∠2=∠C∴EA=ED∴EB-EA=EC-ED即AB=CDADBCE12已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD求证：AB=DC证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E,得□ACED,所以DE=AC∵AC=BD，∴DE=BD.∴∠1=∠E，∵∠1=∠2，∴ΔABC≌ΔDCB∵∠2=∠E，∴AB=DC又∵AC=BD，BC=CB,⑵如

4、图，作梯形ABCD的高AE、DF.通过证明RtΔABE≌ΔDCF来证明定理。AFEDCB已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C求证：AB=CD证明：∵AD∥BCAE⊥BC，DF⊥BC∴AE=DF又∵∠B=∠C∴RtΔABE≌ΔDCF∴AB=CD常用的添加辅助的方法由等腰梯形的性质定理和判定定理的证明及例2，你能总结一下证明有关等腰梯形的常用方法吗?证明有关等腰梯形的问题，往往根据问题的需要，恰当地添加辅助线，把它转化为有关等腰三角形或平行四边形的问题。移动一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形。移动一条对角线，即过底的一端作对角线的平等线。可以借

5、助所得到的平行四边形来研究梯形。从一底的两端作另一底的垂线，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形。如果是等腰梯形，所得到的两个直角三角形是全等的。布置作业：课后习题延长梯形的两交于一点，得到两个三角形。如果是等腰梯形，则得到分别以梯形两底为底的等腰三角形。