矩阵理论研究生课程大作业

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1、4彥題李研究生“矩阵论”课程课外作业姓名:学号：学院：专业：类别：组数：成绩：人口迁移问题和航班问题(重庆大学机械工程学院，机械传动国家重点实验室)摘要：随着人类文明的进程，一些关丁•数学类的问题越来越贴近我们的生活，越发觉得数学与我们息息相关。木文将利用矩阵理论的知识对人口迁移问题和航班问题进行分析。人口迁移问题假设有两个地区——如南方和北方，之间发生人口迁移。每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示：问题：如果这个移民过程持续卜•去，北方的人会不会全部都到南方？如杲会请说明理由;如果不会，那么北

2、方的最终人口分布会怎样？解设〃年后北方和南方的人口分别为心和儿，我们假设最初北方有兀。人，南方有儿人。贝峨们可得,72=1时,—年后北方和南方的人口为fxj=O.5xo+O.25yo〔X=O.5xo+O.75jo将上述方程组(1-1)写成矩阵的形式(1-1)x()A「0.50.25-]其中A=0.50.75〃时，两年后北方和南方的人口为=A/、=A2/、兀0“丿00丿(1-2)依次类推下去，咒年后北方和南方的人口为/£Z、%’丿现在只需求出A"就可得出若干年后北方和南方的人口数。卜•面将使用待定系数法⑴求A"

3、ZE-A

4、=A-0.5-0.5-

5、0.252—0.75=(A-0.5)(2一0.75)一0.5x0.25=才—1.252+0.25=(2_0.25)(2_1)所以入=0.25,22=1矩阵A的最小多项式为m(/l)=a-0.25)(A-l)设An=aQE+a,A由此可得方程组解方程组得a0+0.25q=0.25"Qo+Q]i_—0.25+0.25"_0751—0.25"ciA=0.75所以=a()E+Q]A=-0.25+0.25〃0551-0.2亍0.7510550-25+0.5x0.25"0.5-0.5x0.25"0.25-0.25""0.5+0.25"°所以由式（1-2）,

6、我们得到n年后北方和南方的人口北方：xz,=0.25+0.5x0.25"0750.25—0.25曲055南方：儿0.5-0.5x0.25"075兀（）+0.5+0.25网""055当/7T00时，得儿）v/0.25+0.5x0.25〃0.25-0.25,,+,limx=hm(xn+宀宀0.75°0.75limyn=lim"TOO"TOCOO‘0.5—0.5X0.25"0.5+0.25+y00-7500.750由上面计算可以得到，如杲移民过程持续下去，北方的人不会全部都到南方。最终北方的人口是移民前南北人口之和的1/3。南方人口是北方人口的两倍。

7、结论木文论述的南北方人口迁移问题是一个比较理想化的问题，但还是有一些实际的参考价值，通过本问题的演算过程，我们口J以推论，若一个地区有人口迁出(迁出率＜1),那么只要有人口迁入，则该地区始终有人口住居。航班问题一家航空公司经营久B、C、〃和〃五个城市的航线业务，其中〃为屮心城市。各个城市间的路线见图lo图1假设你想从/城市飞往〃城市，因此要完成这次路线，至少需要两个相连的航班，即AtH和H—B。如果没有屮转站的话，就不得不要至少三个相连的航班。那么问题如下：(1)从A到B,有多少条路线刚好是三个相连的航班；(2)从A到B,有多少条路线要求不多于

8、四个相连的航班。解为了方便计算，设1、2、3、4、5分别代表A、B、C、D、H五个城市。令A=(aij),其中勺•表示，城市到丿•城市单连航班的路线条数(ij=l,2,3,4,5),若=1表示i城市到丿城市的单连航班有1条，若勺・=0表示i城市到丿•城市的单连航班有0条⑵。则表示i城市到j城市单-连航班的路线条数用矩阵A表示为001100A=0000101110101110110令B血卜A2,则乞表示i城市到丿•城市两个相连航班的路线条数11B=A2=122111121211111111114令C=(cJ=/P，则©表示，城市到丿城市三个相连航

9、班的路线条数2322522235c=a3=322252232555554令D=(dJ=A4,则q•表示i城市到丿•城市四个相连航班的路线条数78D=A4=777799■77877899999920(1)由上面的计算可得，巾代表从A到B刚好是三个相连的航班路线条数。所以，从A到B,冇3条路线刚好是三个相连的航班。(2)要求从A到B,不多于四个相连的航班路线条数，即是要把单个相连、两个相连、三个相连和四个相连的全部航班路线条数加起来。即a】。+/?

10、?+C］。+cl^=0+1+3+7=11所以，从A到B,有11条路线不多于四个相连的航班。参考文献［

11、1］李新,何传江•矩阵理论及其应用［M］.重庆：重庆大学出版社,2005.8:117-120［2］同济大学数学系•工程数学•线性代数［M］•北京：高等