圆锥曲线问题探究一

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1、揭秘高考解析几何题型与解题方法(一)解析几何题在高考试题中是中低档题，但考生失分加多，分析其主要原因是方法不当，运算出错。为此本人精心研究了历年高考试题，总结出高考中解析几何的常见题型及其解题方法，这样可以减少运算，快速解答高考试题。为同学们在高考中获胜尽口己微薄之力！一.求轨迹。常用的方法有：直接法，待定系数法、定义法，代入法，点差法，参数法。例1.(11,广东)设圆C与两圆(x+>/5)2+y2=4,(x->/5)2+y2=441的一个内切,另一个外切。(1)求圆C的圆心的轨迹L的方程。(2)己知点M(^5,£§),F

2、(a/5,0),且P为L上动点，求

3、

4、MP

5、-

6、FP

7、的最大值及此时点P的坐标。解析：(1)(定义法)设两圆的圆心(x+V5)2+y2=4,(x-V5)2+y2=4圆心分别为C,,C2,OC的半径为门若OC与OC］内切，与OC2外切得

8、CCJ二「2,

9、CC2

10、=r+2,可得

11、CC2

12、-

13、CC,

14、=4,同理得若OC与0C［外切，与OC?内切得

15、CC］

16、=r+2,

17、CC2

18、=r-2可

19、CC)

20、-

21、CC2

22、=4从而

23、

24、CC,l-lCC2

25、

26、=4<2>/5=

27、C,C2曲双曲线的定义的C的轨迹为双曲线，沪2,c=a/5,b=l,r2

28、求圆C的圆心的轨迹L的方程为—=I。4【点评】利用圆、圆锥曲线的定义与性质解题减少运算量，能迅速求出结果。(2)(几何法求最值)过M,F的直线n的方稈为y=-2(x-V5)将其代入L的方程得15x2-32a/5x+84=06x/514a/515故n与L的交点为丁間2^5_14^52逅、‘1(~g~~人*2(--、~-~)由三角形两边之差小于第三边性质可知当p为7；时IIMPRFPII的最大值

29、MF

30、=2oP的坐标为（【点评】用几何性质可简化运算，解题是常见的方法。例2.（10,全国新）已知双曲线E的中心为原点，F（3,（）

31、）是E的焦点，过F的直线L与E相交于两点，且AB的中点为X（-12,-15）,则E的方程为4529A.—16336D.X【解析】（点差法）弦AB的中点、斜率已知故用此法。设双曲线的方程为二设A（s），B（S），则力厂旨=¥器=1，兀］+1=_24,+”=—30,将A(X］必),B(x2y2)2代入双曲线方程的QSb2yib2=i-=i(i)•⑵b2-24(1)-(2)整理得）1_旳二"2■召+兀2—2西一无2ClX+）‘2c2=9=a2+Z?2=>a2=4,/?2=5,r2v2所以椭圆的方程为一-二=1，故选B45【点评】

32、涉及弦的中点和弦的斜率的问题，常用此法。例3.（10,广东）已知双曲线—-y2=1的左、右顶点分别为A，4，点P（兀

33、,必）,2（%!，一必）是双曲线上不同的两个动点。(1)求直线4/与爲0交点的轨迹E的方程；(2若过点H(O,/2)(A>1)的两条直线厶和厶与轨迹E都只有一个交点，且厶丄厶，求力的值。【解析】(交轨法)曲线的左右顶点知，4(一血,0),A(a/2,0),3；1^(x+V2)①X]+>/2A2:y~—气=(兀_V2)②X—I222①②两式相乘b二早1(兀2一2),因为点)在双曲线上，所以互一才=1,即巧

34、一2221[2_^=丄，故y2=-i(x2-2)，所以—+/=1,即直线与4Q交点的轨迹E的石一2222r2方程为尹"说明：交轨法实质是参数法。(2)解法1：设:y=kx+h,则由厶丄厶知，厶：y-一"兀+力°将A：y二尬+力代~-k22入—+/=1得：—4-(fcc+/z)2=l,即(1+2/)兀2+4khx+2/?2-2=0,由厶与E只有一个交点知,△=16疋胪一讯[+2疋)(2胪一2)=0,即1+2疋=力2。同理，由厶与E只有一个交点知，1+2・A=/i2，消去胪得_L=k即疋=],从「ZrAr而，h2=14-2k

35、2=3,又Q力>1,h=-/3.0解法2：由题意知直线厶和厶都是椭圆E的切线，由对称性知，两直线的倾斜角分别为2245°和135°,设其方程为y=±兀+力，代入椭圆E的方程y+/=1得专■+(土x+/z)2=l,即3无'±4加+2Z/2—2=0由△=()得16/i2-4x3x(2/?2-2)=0,即/z2=3,Q/z>l,/.h=V3.)v—1J-tPCQzyIY—POQA~(t为参数),c2J■[(&为参数),y=tsina[y=sin0(I)当a=-时，求c与C2的交点坐标；3(II)过坐标原点0做G的垂线，垂足为

36、A,P为0八中点，当G变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。解：(1)当a=G的普通方程为y=V3(x-l),C2的普通方程为x2+/=lo联立方程组y=V3(x-1)921x2+/=i解得G与C2的交点为(ie),fl(II)(参数法)G的普通方程为xsina-ycosa-sina=0。