特殊函数_数学_自然科学_专业资料

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1、狄拉克函数在波函数屮的应用摘要：狄拉克函数处理不连续函数具冇广泛的应用，我们着重介绍狄拉克函数在求解最了力学波函数归一化问题屮的应用。0.引言早在一个多世纪前，物理学家就感到有必要引入一个数学符号来描述质点、点电荷、点光源及又窄又强的电脉冲等一类物理量，当吋用于描述这种物理虽:的数学符号被称Z为'冲击脉冲符号'。1947年,英国物理学家P.A.M.Dirac在他的著作《PrincipleofQuantumMechanics》中正式引入力3,并称它为'奇界函数'或'广义函数'・址)函数Z所以被称为'奇界函数'或厂义函数'

2、，原因在丁•它不象普通两数那样存在确定的函数值，而是一种极限状态，而且它的极限也和普通函数不同，不是收敛到定值，而是收敛到无穷大；函数不象普通函数那样进行四则运算和乘幕运算，它对别的函数的作用只能通过积分來确定。1•狄拉克函数的定义对于自变量为一维的力函数-§匕)来说，它满足下列条件：[0,兀H0j(x)=

3、积'或，强度'等于1,所以53乂叫做单位脉冲函数。在仃)和(2)屮变换原点，得到：「0,兀一aH0/(x-a)={[co,兀_a=0(1.3)[/(x)5(x-=f(a)其屮日为任意常数。因此用心金乘x的函数，并对所有x积分的过程，等效于用臼代替x的过程。在光学里，5(力函数常常用來表示位于处标原点的具有单位光功率的点光源，由于点光源所占面积趋近于零，所以在尸0点功率密度趋近于无穷大。2.狄拉克函数的性质狄拉克函数具有以卜•性质:3(x)cix=1x)3(x)dx=/(O)[/(x)5(x-q)必=f(a)8{ax)7

4、7T(ghO)(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)(2.5)J(-x)=c5(x)(2.6)说明》函数貝•有偶对称性。Y5(二)=

5、a13(x)(aH0)afM8(x-x0)=d>(x-x0)/(x0)(2.7)(2.8)3•狄拉克与波函数在量子力学中，常辿到克罗内克尔(Rronecker)5初函数和狄拉克J(x-x)函数，其定义为:I1YI-YI0“主(3.1)乃为分主变数{00X=X10兀工0

6、标以(x』z)表示,5(戸_戸)=5(x_x')5(y-y(z-z')在柱坐标系下，戸的坐檣以(p,0,z)表示,(3.3)/（戸一戸‘）=丄》（5——0'）5（z—z‘）在球丛标系下，戸的坐标以（厂,0,0）表示，5（戸_戸）=5(厂一”)»(&_r2sin&狄拉克/函数的性质对任意的连续两数/（X）,下式成立:址）=当t严心2/r3(x)=——J：(cosAx+isinAx)dA=——J：cosaxd九2^2711fooa“]・SinAx=-UcosAxdA=hm71久TR7TX由上式可知,5（兀）为偶函数,则力⑴

7、=d＞（-x）在物理学小，/（X）被视为连续函数的极限，所以有:x^(x)=0卜•式两边对X取微商得:d3(x)X_dx=S{x)则lim/(x)=l,可得:xtO金川Ax盹）》0应）=/（询沪胚占5（处）=同5（兀）因5（x）为偶函数J1只在X=0处的值不为零，所以有:0x<0S(x')dx'=/?(x)=-—x=021x>0(3.4)(3.5)(3.6)(3.7)(3.8)(3.9)(3.10)(3」1)(3.12)(3.13)H(x)称为亥维赛(heaviside)单元函数。显然冇:dh(x)dx"(X)/(兀)

8、=仁f{d)8{x-d)da(3」4)(3.15)f{x)8(x-a)dx(3」6)上两式对视为广义会里叶展开式及展开系数的表示式，这说明任意连续函数都对以对/函数展开。作为展开基组的5函数是完备的。/(x)5[(x-<7)(x-b)]dx=J-ooJa-£=J；；/(d)5[(x-Q)(Q-刖心+f/(x)^[(x一a)(x一b)]dx+J：：/(x)5[(x-a)(兀一b)]dxf(b)3[(b-a)(x-b)]cix/⑴Q(x-a)+/(X-b)]dxQa-b所以得:5[(x—a)(x一b)]=7~-―J-Q(

9、x—a)+5(兀一b)]0胡(3.17)若b=-a.则得:[/(X—Q)+5(X+67)]=TTi-1Q(x-a)++q)]2闰在上式中令a=0,然后再将x改为x-a得:x-a(3.18)(3.19)InX严=InX1-171X<0lnx=0所以得:dlnxdx=—±沅》(x)X另一方面，在复平而上，x=0是lnx的奇