用数学思想指导解题教学的思考

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1、用数学思想指导解题教学的思考现行中职教材中，多次出现“含字母系数的一元二次不等式(或方程、或函数)，对0实数兀，在某种题设条件下，求字母的取值范围”这类问题。其常规解题思路是：考虑二次项系数的符号，用判别式△求解。假如对实数兀不是在整个实数集内，而是在实数集的某个子集上，能否仍按这条解题思路求解？笔者在教学中，碰到过学生提出这样一个问题：不等式F-加兀+1>0在兀w[0,+oo)上恒成立，求实数加的取值范围。%1.关于一个错解的思考假如按常规思路，考虑二次项系数大于0,由判另!j^A=m2-4<0,解得加w(-2,2),此结果是否正确？不妨令加=-

2、3纟(-2,2),则x2-mx+l=x2+3x+l>0在[0,+oo)上也成立。其实当mg(-00,-2]Ht,x2-mx+1>0在兀w[0,+oo)上也恒成立。可见，上述结果是个错解。止确的结果应该是加g(-oo,2)o错解错在哪里？因为当me(-2,2)时，不等式对0实数兀恒成立时，不但包括了在xe[0,+oo)±恒成立，而且包括了在xe(-oo,0)±也恒成立。而题意要求在xe[0,+oo)恒成立，并不要求在xg(-oo,0)上也一定耍成立。所以，解题应该包括两种情形：(1)不等式对V实数兀恒成立时，则在xg[0,+oo)JL必定恒成立。(2

3、)不等式在(-oo,0)不成立时，在兀w[0,+oo)上也可以恒成立，但此时必须满足一定的条件。上述错解Z所以错，就错在忽视了第(2)种情形存在的可能性，结果就会产生漏解。这是一种以偏概全的片面性思维方式，解题时要启发学生力求避免。%1.关于正确求解的思考但凡做事，都受思想支配。要解答一道数学题，无一不是在数学思想指导下进行。数学思想，是在数学教学探索活动中解决问题的根本想法，也是对数学知识在认识、概括的基础上形成的基木观点。要力求避免以偏概全的片面性思维方式，不妨从常规的几种数学思想的不同角度，进行多方位的思考。思考1:函数的思想函数思想，是处理

4、变量数学问题的一•种很重要的数学思想。它需要寻求一个函数关系式,利用函数的有关知识，直接或间接求解。分析：当xhO吋，不等式可化为x€(0,+oc)0若设函数/(兀)=工±1,只要XX能求得/(兀)在(0,+oo)上的最小值，则加的取值范围即可求得。解法1：(1)当x=O时，显然不等式对V实数加都成立。Y?4-1Y?11(2)当xhO时，不等式可化为加<=,xe(o,+oo),令f(x)=±—lf考察门力在XE(0,+oO)上的单调性：设0VX］

5、,1)±是减函数，.•.加v/(x)罰二/(1)二2；当1<歼<兀2<+"，—>0，Ar_Ax在(1,4-00)上是增函数，.•.加V/(兀)伽=/(I)=2,则当xg(0,+oo)吋，加W(-00,2)。综合(1)(2)得：加的取值范围是me(-oo,2)思考2:分类讨论的思想分类讨论，是逻辑规律加的数学化，它体现了逻辑思维的深刻性和全面性。分析：若设g(x)=x2-/nx+1,xg[0,+oo),抛物线&(兀)的顶点处标为巴，对称轴x=—o而巴可能在[(),+00)上，也可能在(-00,0)上，因此，分两种情况讨论。解法2：设g(x)=x2-m

6、x+1,对称轴x=—,分两种情况讨论:(1)当-e[0,o>)时，：抛物线g(兀)始终在x轴上方，与兀轴无交点，贝lJ^A=m2-4<0,2解得:me(-2,2)oin(2)当-e(-oo,0)时，抛物线g(兀)与兀轴可以有交点，但须满足：7<0,解得：2/(0)>0me(-oo,0)o综合(1)(2)得：加的取值范围是me(-oo,0)U(-2,2)=(-oo,2)o思考3：等价变换的思想等价变换，是唯物辩证法运动规律的数学化，常用的化归方法是转化与变换思想的具体体现。分析:若设不等式x2-mx+l>0的解集为A,则问题可化归为:当加在什么范围内

7、取值时，[0,+oo）匸A.解法3：设不等式的解集为A,则A二m-Vm2-4(1)当△=4v0时，即加丘(—2,2)时，不等式解集A=R,因为[0,+oo)eR,所以当mg(-2,2)时，不等式在xg[0,+oo)上恒成立。(2)当4=加2-420时，要使[0,+oo)匸4,须满足：加+J厂4,由A=m2—4＞04m+y/m2-4v0'解得：me(一一2〕。2＜综合(1)(2)得：加的取值范围是me(-oo-2]U(-2,2)=(-oo,2)o思考4：数型结合的思想数型结合，把空间形式与数量关系有机联系起来，它体现了数与形之间的辨证统一关系。运用数

8、形结合，既思路清晰，乂具有直观效果，是解决问题的重要并且常用的数学思想方法,关键在于理解问题的几何意义。分析：考虑构建二次