[等差数列、等比数列的性质运用

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1、等差数列、等比数列的性质运用等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前料项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决,能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一百受到重视.高考中也一直重点考査这部分内容.•难点磁场(★★★★★)等差数列｛如｝的前n项的和为30,前加项的和为100,求它的前3加项的和为•案例探究［例1］已知函数/(x)=』x-4(x<—2).(1)求/⑴的反函数厂I⑴；1⑵设4=1,=—厂WN*),求a”;in⑶设Sn=a124-6f22+•••+a^bn=Sll+—Sn是否存在最小正整数加,使得对任意

2、〃丘N*,有厲v25成立？若存在，求出也的值；若不存在，说明理由.命题意图：木题是一道与函数、数列有关的综介性题日，着重考查学生的逻辑分析能力,属***★★级题目.知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题.错解分析：木题首问考杳反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点,191+4—^-2得d+i11_2~25=4,构造等差数列｛〜｝,从而(3)问运用了函数的思想.(2)问以数列｛°」｝为桥梁求给，不易突破.技巧与方法：(2)问由式子碍+】求得给,即“借鸡生蛋"是求数列通项的常用技巧;解:(

3、2)Va,,+l・•・｛%：｝是公差为4的等差数列,Vt?i=l,a,t="i+4(“—l)=4n—3,*.*an>0,an=丁力-3.]m_25(1)bn=Sn+—Sn=an+2=4n+1，由久v25，得加>4n+1,2525设g（n）=4n+l,・・・g（〃）=力+1在neN*上是减函数,m・・・g（n）的最人值是g⑴=5,••皿＞5,存在最小正整数加=6,使对任意底N*有仇v25成立.［例2］设等比数列｛禺｝的各项均为正数，项数是偶数，它的所冇项的和等于偶数项和的4倍，且笫二项与笫四项的积是笫3项•第4项和的9倍，问数列｛妝“｝的前多少项和最大？（lg2=0.3,lg3=0.4）命

4、题意图：木题主要考杳等比数列的基木性质与对数运算法则，筹差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.属★★★★★级题日.知识依托：本题须利用等比数列通项公式、前几项和公式合理转化条件，求出Q”；进而利用对数的运算性质明确数列｛lgd〃｝为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解.错解分析：题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的止确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方.技巧与方法：突破木题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前料项和有最大值，一立是该数列中前面是止数，后面是负数，当然各止数Z和最大；另夕卜，等差数列S”是川的二次函数，也nJ由函

5、数解析式求最值.解法一：设公比为g,项数为2加"GN：依题意有⑷•（/'"_1）二_1）'g_1g2_］（0山）・3才）=9（山『+^才）化简得q+1=9(1+q),my3=108设数列｛lgaw)Mn项和为S“,则S〃=lg4+lg©『+…+ig%g"-'igdr・丄丄=nlgai+2n(n~l)•Ig<7=n(21g2+lg3)—2n(n—l)lg3lg37=(—2)・/+⑵g2+2]g3)•n72Ig2+-lg3可见，当x曲时，最大.721g2+-lg3而lg34x0.3+7x042x0.4=5,故｛塩给｝的前5项和最大.a】=108'_111q———解法二接前，3，于Mlg^=lg[

6、108(3)n~l]=lgl08+(n-l)lg3,・•・数列｛殴订是以lglO8为首项，以塩亍为公差的等差数列，令1帥B0,得21g2—⑺一4)lg321g2+41g3_2x0.3+4x0.420,・SW咆彳04=5.5.由于meN：可见数列｛lga”｝的前5项和最大.•锦囊妙计1•等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应冇意识去应用.2.在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.31巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重耍，但用“基本量法”并树立“1=1标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运

7、用条件，乂要时刻注意题的目标,往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.•歼灭难点训练一、选择题e79lim【.(★★★★)等比数列｛如｝的首项项和为S“,若山,贝lJ”Tss“筹于()33C.2D.-2二、填空题?.(★★★★)已知成等差数列,a,b,ab成等比数列，.H0