等差数列、等比数列的性质运用

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1、难点12等差数列、等比数列的性质运用等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前八项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决,能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的冃的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.•难点磁场(★★★★★)等差数列｛如｝的前n项的和为30,前2加项的和为100,求它的前3加项的和为.•案例探究［例1］己知函数/U)二丿—(xv—2).心一4(1)求心)的反函数厂⑴；(2)设°［=1,」一=—广"仙)(/?WN*),求anan+(3)

2、设Sn=a12+ci2+***+a,^bfl=Sn+1—Sn是否存在最小正整数〃7,使得对任意nWN：有bn<—25成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力,属**1^★★级题目.知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题.错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点,⑵问以数列｛厶｝为桥梁求為，不易突破.技巧与方法：⑵问由式子—=亠+4

3、得—L_--L=4,^造等差数列｛厶｝,从而5+】75afl+iafta,；求得冷，即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想.解:⑴设尸启心<一2~T=4>an即y=f']M=—（4+十（x>o）⑵・・・—•••｛丄｝是公差为4的等差数列,—-+4(/1—1)=4/?—3,Tan>0,/.an=『，a；』4h_3⑶g曲-驚如2=科，由仇<百得心254/?+1设gS)=丄_,・・・gS)=丄-在neN*上是减函数,4n+14/1+1・：g⑷的最大值是g(l)=5,・••加>5,存在最小正整数加=6,使对任意有bn<—

4、成立.［例2］设等比数列｛给｝的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列｛lg^｝的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)命题意图：本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题须利用等比数列逋项公式、前〃项和公式合理转化条件，求出冷;进而利用对数的运算性质明确数列｛览给｝为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解.错解分析：题设条件屮既有和的关系，乂有项的关系，条件的正确

5、转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方.技巧与方法：突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前77项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大「另外，等差数列S”是斤的二次函数，也可由函数解析式求最值.解法一：设公比为q,项数为2m,meN*,依题意有g•(qE_D_口山""'_D

6、ig"'=lga】"・q"2++(“I)=nlga+—n(n—l)•Ig^=n(21g2+lg3)—yn(n—l)lg3=(-—)•/+(21g2+?lg3)•n22721g2+-lg3可见，当/?=——时，必最大.坦372x0.4而2塩2+尹3=4x0.3+7x0.4=5,故｛妝”｝的前5项和最大.解法二：接前，21，于是lg««=lgL108(-)rt_l]=Igl08+(/t—l)lg-,G=—333・•・数列｛lg给｝是以lg1()8为首项，以lg+为公差的等差数列，令lg给鼻0,得21g2-(n-4)lg3“.<21g2+4

7、1g32x03+4x0.4.Ig30.4由于nWN：可见数列｛lg©｝的前5项和最大.•锦囊妙计1.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用.2.在应用性质吋要注意性质的前提条件，有吋需要进行适当变形.3.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又耍时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.•歼灭难点训练则limS”等于n—>co一、选择题!.(★★★

8、★)等比数列仏｝的首项Q]=—1,前n项和为()22A.-B.——C.2D.-233二、填空题2.(**★★)己知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且()vlogm(ab)vl,贝9m的取值