冲刺天高考文科数学解题策略专题八第四节运用等价转换思想解题的策略(新)

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1、笫四节运用等价转换思想解题的策略等价转换是四大数学思想z—,在研究和解决中较难数学问题时，采用等价转换思想，将复杂的问题等价转换为简单的问题，将难解的问题通过等价转换为容易求解的问题，将未解决的问题等价转换为已解决的问题.近儿年來高考试题要求学住要有较强的等价转换意识，等价转换思想的应用在近儿年來高考试题中处处可见，是解高考试题常用的数学思想，难度值一般控制在0.3-0.7.考试要求：(1)了解等价转换的数学思想和遵循的基本原则；(2)了解等价转换思想在解题屮的作用；(3)掌握等价转换的主要途径、方法；(4)掌握几种常见的等价转换思路，灵活运用等价转换思想解决

2、数学难题.题型一利用数学定义、公式构造数学模型进行等价转换例］.(1)求sin220。+cos280“+巧sin20“cos80°的值;(2)求函数y=sinx+V1+cos2x的最大值.J点拨：(l)利用所求式与余弦定理类似，再结合正弦定理的推论求值；(2)将函数最值问题转换为向量数量积问题，由数屋积的不等式性质，求出y最人值.解：(1)注意到所求式与余弦定理类似，由c2=a2+/?2-2abcosC<=>sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC・・・原式二sin220°+sin210"-2sin20°sin10°cos150°=sin

3、2150"=-.4(2)构造向量a=(IMb=(sinx,Vl+cos2x),贝i」Gl=lM=血，由G•力sGl巧丨知，Iy1=1sinx+Jl+cos?兀=a-blcos2x=-^>x=k7r+—,keZ时等号取得.2易错点’在本例的两个小题中：(1)若利用三角恒等变形，过程较为复杂，思路容易受阻；(2)容易想到用换元法和三角恒等变形求函数的最大值，不能联想到平面向壘的数壘积，计算容易出错，解题思路容易受阻.血卡匕变式与d+加(1引申1：已知加Ra

4、,求证：〉一・b+mb题型二函数、方程及不等式解题中的等价转换例2.(1)若d、是正数，且满足o/?=d+/?+3,求川?的取值范围.7T⑵已知奇函数/(兀)的定义域为实数集且/(X)在［0,+oc)±是增函数，当0<〃<一时，是否存在27T这样的实数加,使/(cos2^-3)+f(4m-2mcos0)>/(0)对所有的处［0,—］均成立?若存在,求出所有适合条件的实数加；若不存在，请说明理由.点拨：(1)将一个等式转换为不等式，是求变屋取值范围的重要的方法，通常利用函数的单调性解答此类问题，或者利用基本不等式解答这类问题.(2)本题是一道抽象两数单调性、奇偶

5、性的综合运川的问题，由函数的单调性、奇偶性得岀关于&和加的不等式，既然需求加的取值，不防把此问题转换为加关于&的函数和不等式的问题.解：(1)方法一(看成函数的值域)•・・db二d+b+3,・・.b二而b>0,.*.-^>0,即。>1或a<—3,乂6/>0,a-la-11an1n,a+3(d—l)?+5(a—l)+4,4-na〉1,即a—1>0,ab=a=(a—1)+5>9,a-ia-Ia-l4当且仅当a-l=——，a=3时等号取得.ci—I方法二(看成不等式的解集)a,b为正数，:.a+b>2y[ah,乂tab=a+b+3,/.ab>2y[ab+3,即([

6、ab)2-2y[ab-3>0,解得»3或5—1(舍去)，/.ah>9(2)由于(兀)是/?上的奇函数可得/(0)=0,再利用于(兀)的单调性,则可把原不等式转换成为关于&的三角不等式，/(兀)是/?上的奇函数，乂在[0,+OC)上是增函数，故/'(兀)是/?上为增函数.•・•f(cos20-3)+f(4m-2mcos0)>/(0)=0/./(cos20—3)>/(2mcos4m)•/f(x)是上的增函数，二cos20-3〉2mcos0-4m即cos26-mcos0+2m-2>071令t=cos0,&w[0，一

7、,/.tg[0J1.2于是问题转换为对一切的te[

8、0,1],不等式t2-mt+2/n-2>0恒成立，t2-2:.t2-2>m(t-2)9即加〉恒成立.t-2又•・・=2)+丄+4S4-2血?.m>4-2^2t-2t-2.••存在实数满足题设的条件，加>4—2血・易错点：(1)不能将等式转换为函数或者不等式进行研究；(2)由已知不等式，结合函数的单调性、奇偶性找不到0和血的不等式；错谋理解H变量只为兀，不能把问题转换为&和加的函数或不等式问题；不能想到用复合函数的观点来研究加的取值，并且容易把问题看成是r关于加的不等式问题，从而用根的分布來解决此问题，较为繁琐，容易出错.变式与引申2：已知函数f(x)=x4-2

9、ax2.(I)求证：方程/(%)=1有