冲刺60天2012年高考文科数学解题策略 运用数学思想方法解题的策略 第一节 运用函数与方程思想解题的策略

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1、函数的主干知识、函数的综合应用以及函数与方程思想的考查，一直是高考的重点内容之一.高考试题中，既有灵活多变的客观性小题，又有一定能力要求的主观性大题，难度有易有难，可以说是贯穿了数学高考整份试卷.高考中所占比重比较大，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，难度值一般控制在之间.考试要求：考查逻辑思维能力、等价转换能力、空间想象能力、运算能力、识别能力、运用数学知识分析问题和解决问题能力.函数思想主要有：（1）引入变量，确定函数关系；（2）选定主元，揭示函数关系；(3)选取变元，构造函数关系；（4）实际问题，建立函数关系；（5）特殊函数，转化函数

2、关系.方程思想主要有：（1）待定系数求解方程；（2）分类思想讨论方程；（2）变量代换构造方程.题型一构造函数和方程解题例1.已知，（、、），则有（）.A.B.C.D.点拨：方法一通过化简，敏锐地抓住数与式的特点：看作是方程的一个实根，再利用一元二次方程有实数根的充要条件求得；方法二转化为是、的函数，运用重要不等式解题．解：方法一：依题设有∴是实系数一元二次方程的一个实根；∴∴故选B.方法二：去分母，移项，两边平方得：∴故选B.易错点：不能合理地转化为是、的函数或构造来解题.变式与引申1：(2009年山东文科第12题)已知定义在上的奇函数，满足,且在

3、区间上是增函数,则().A.B.C.D.题型二函数、方程、不等式三者之间的相互转化例2.已知，，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，求的取值范围．点拨：首先明确本题是求的取值范围，这里注意另一个变量，不等式的左边恰是的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决.在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键．解：∵，∴，从而原题转化为：恒成立，为的一次函数（这里思维的转化很重要）当时，不等式不成立．∴．令＝为的一次函数，，问题转化为在上恒大于0，则，解得：或易错点：“主元”的选取容易选错，误认为是关于的二次函数，导致错误.变式与引申2：设不等式

4、对于满足的所有的值都成立，求的取值范围.题型三函数与方程在解析几何中的应用例3.已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.点拨：（1）由右焦点的坐标求得，设左焦点为，由椭圆的定义求得，进而得到椭圆的方程；（2）假设直线存在，设出直线方程，并将直线方程和椭圆的方程联立，表示出直线与的距离，由距离等于4列方程解得.由得,因为直线与椭圆有公共点，所以有解得另一方面，由直线与的距离为4，可得，从而由于，所以符合题

5、意的直线不存在.易错点：忽略.变式与引申3：已知的边边所在直线的方程为满足,点在AC边所在直线上，且满足．（I）求AC边所在直线的方程；（II）求外接圆的方程；（III）若动圆过点，且与的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．题型四应用函数与方程研究实际问题例4.某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速

6、度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由.点拨：(1)首先把表示为的函数，再利用函数的性质求最小值.(2)把表示为的函数，再利用函数的性质求最小值.(3)把表示为的函数,由总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,把函数问题转化为一元二次方程的根的分布问题再去求解.解：（1）方法一：设相遇时小艇的航行距离为海里，如图8-2，则故当时，即小艇以海里/小时的速度航行

7、，相遇时小艇的航行距离最小.方法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向.设小艇与轮船在处相遇.在中，此时，轮船航行时间即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.（2）设小艇与轮船在处相遇由题意可得：化简得:由于，即，所以当时，取得最小值.即小艇航行速度的最小值海里/小时.（3）由（2）知，设于是小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程应有两个不等正根，即：，解得所以的取值范围是易错点：（1）不能建立正确的函数关系以及；（2）对一元二次方程的根的分布不能做出正确判断.变式与引申4：（

8、2010年湖北理科第17题）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用