投影变换——换面法2010.7

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1、§1概述§2换面法VHXV1Aaba'b'BX1a1b1第3章投影变换§1概述当直线或平面相对于投影面处于特殊位置时，其投影可能反映线段的实长、平面的实形以及相应的倾角。而直线或平面处于一般位置时，其投影就没有这些特性。为了较容易地解决有关的作图问题，将几何元素与投影面的相对位置变换成处于有利解题位置的方法称为投影变换。投影变换有两种形式：（1）变换投影面法（换面法）——几何元素保持不动，改变投影面的位置，使其处于有利解题的位置。（2）旋转法——投影面保持不动，将几何元素旋转到有利解题的位置。a

2、abb两点之间距离aabbcc三角形实形aabbccdd直线与平面的交点abcdabcd两平面夹角§2换面法一、换面法的基本概念二、新投影面的选择原则三、点的投影变换规律四、六个基本问题一、换面法的基本概念a1c1b1V1X1X1换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。V/H体系变为V1/H体系c1b1a1bcabacX（二）、新投影面的选择必须符合以下两

3、个基本条件：1．新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。2．新投影面必须垂直于一个不变投影面。二、新投影面的选择原则三、点的投影变换规律1．点的一次变换2．点的投影变换规律3．点的两次变换1．点的一次变换X1V1a1a1X1V1a1X1HV1V1a12．点的投影变换规律（1）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。（2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。H1X1点在V/H1体系中的投影X1H1Va1a1a23．点的两次变换X2H2V12X2a2四、六个

4、基本问题（一）把一般位置直线变为投影面平行线例题1（二）把投影面平行线变为投影面垂直线（三）把一般位置直线变为投影面垂直线例题2例题3（四）把一般位置平面变为投影面垂直面例题4例题5（五）把投影面垂直面变为投影面平行面（六）把一般位置平面变为投影面平行面例题6V1X1（一）把一般位置直线变为投影面平行线a1b1a1b1X1V1H[例题1]把一般位置直线变为H1投影面平行线X1H1Va1b1X1H1Va1b1（二）把投影面平行线变为投影面垂直线bb1X1a1b1（三）把一般位置直线

5、变为投影面垂直线V1X1a1b12a2b2把一般位置直线变为投影面垂直线X2H2V1a2b2X1HV1a1b1[例题2]求点C到直线AB的距离提示c'2作图c1b1a1X2H1V2H1X1Vkk'k1b'2k'2a'2距离211'12'11222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b'1a'1d'1c'121b[例题3]求两直线AB与CD的公垂线。acXVHbbac（四）把一般位置平面变为投影面垂直面cddDX1H1a1c1b1d1dX1H1Vdb1a1c1d1k1

6、X1H1Vb1a1c1d1s1[例题4]求点S到平面ABC的距离距离eNddX1VH1k1e1[例题5]已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。b1a1c1d1（五）把投影面垂直面变为投影面平行面V1c1b1a1X1X1V1c1b1a1a1c1b1X1ddb1a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H1（六）把一般位置平面变为投影面平行面实形[例题6]已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。ddb1a1c1d1X1H1Va2c2

7、b2d2X2V2H11515eee1e2