江苏省2015年高考数学考前指导：函数题（丁沟中学）

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1、函数题(丁沟中学)三道函数题1.设函数f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0)(1)若函数f(x)在xG［・1,1］内没有极值点，求实数a的取值范围；(2)a=l时函数f(x)有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；(3)若对任意的aG［3,6］,不等式f(x)□在xG［-2,2］上恒成立，求实数m的取值范围.解题分析(1)要使函数f(x)在XG［-1,1］内没有极值点，只需f‘(x)=0在［-1,1］上没有实根即可，即f‘(x)=0的两根x=-a或x二

2、不在区间［-1，1］上；(2)a=l时，f

3、(x)=x3+x2-x+m,f(x)有三个互不相同的零点，即m=-x3-x2+x有三个互不相同的实数根，构造函数确定函数的单调性，求函数的极值，从而确定m的取值范围；(3)求导函数，來确定极值点，利用a的取值范围，求出f(x)在xG［-2,2］上的最大值,再求满足f(x)<1时m的取值范围.解：(1)Vf(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0),・°・f"(x)=3x2+2ax-a2,•・・f(x)在xw［-1,1］内没有极值点，.••方程f‘(x)=3x2+2ax-a2=0在［-1,1］上没有实数根

4、，由厶=4a2-12x(-a2)=16a2>0»二次函数对称轴x=-—<0,当f‘(x)=(m，即(3x・a)(x+a)=0,解得X…或x=

5、(__1・•・空>1，或专<・1(a<・3不合题意，舍去)，解得a>3,・・・a的取值范围是｛a

6、a>3｝；(2)当a=l时，f(x)=x3+x2-x+m,Vf(x)有三个互不相同的零点，.*.f(x)=x3+x2-x+m=0,即m=-x‘令g(x)=-x3-x2+x,则gz(x)=-令『(x)>0,解得-l

7、)和-x2+x冇三个互不相同的实数根.(3x-1)(x+1)(x)<0,解得x<・1或x>2,3上为减函数，在(-1,£)上为增函数,3・'・g(x)极小=g(-1)=-1,g(x)极大=g(寺•5的取值范围是(…寻);(3)*.*fz(x)=0时，x=-a或x=~5,311.a6[3,6]时，-6[1,2],・a€(・r・3]；o又xG[-2,2],・・・f‘(x)在[・2,彳)上小于0,f(x)是减函数;3fz(x)在(专，2]上大于0,f(x)是增函数；.'.f(x)max=max{f(-2),f

8、(2)},而f(2)-f(-2)=16-4a2<0,/.f(x)max=f(-2)=-8+4a+2a2+m,又Tf(x)<1在[-2,2]上恒成立，/.f(x)max

9、任意xG[-罟，0],不等式g(x)>x»f(x)+mtU成立，求实数m的取值范围;(III)试探究当XG[牛，今]时，方程g(x)=x・f(X)的解的个数，并说明理由.解题分析：(I)化简f(x)=sinx,g(x)=excosx,g(0)=e°cos0=1；从iflj由导数的几何意义写出切线方程；JT(II)对任意XG[-—,0],不等式g(x)>x»f(x)+m恒成立可化为m<[g(x)-X・f(x)]min，2x6[-—,0],从而设h(x)=g(x)・x・f(x),x6[-—,0],转化为函数

10、的最值问题求22解.TT兀(III)设H(x)=g(x)-x・f(x),x6[—,一]；从MlJ由函数的单调性及函数零点的判定42宅理求解函数的零点的个数.解：(I)由题意得，f(x)=sinx,g(x)=cxcosxtg(0)=e°cos0=1；gr(x)=cx(cosx-sinx),gz(0)=1；故曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的切线方程为y=x+l；(II)对任意xG［-—,0］,不等式g(x)>x*f(x)+m恒成立可化为乙兀m<[g(x)-x*f(x)]min,xG[-—,0],设h

11、(x)=g(x)・x・f(x),xG[-—,0],2贝ijh'(x)=ex(cosx-sinx)-sinx-xcosx=(ex-x)cosx-(ex+l)sinx,・・・xG[冷0],(ex-x)cosx>0,(ex+l)sinx<0；故h‘(x)>0,故h(x)在,0]上单调递增，2故当X=-弓时，hmin(X)=h(-弓)=-弓；[人兀故mW■—；2(III)设H(x)=g(x)-x^f(x),x6[—,则当X曰*,今]时，Hz(x)=