2019-2020年高考数学考前指导 函数题

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1、2019-2020年高考数学考前指导函数题三道函数题1.设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）（1）若函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，求实数a的取值范围；（2）a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；（3）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[﹣2，2]上恒成立，求实数m的取值范围．解题分析（1）要使函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在[﹣1，1]上没有实根即可，即f′（x）=0的两根x=﹣a或x=不在区间[﹣1，1]上；（2）a=1时，f（x）=x3+x2﹣x+m，f（x）有三个互不相同的

2、零点，即m=﹣x3﹣x2+x有三个互不相同的实数根，构造函数确定函数的单调性，求函数的极值，从而确定m的取值范围；（3）求导函数，来确定极值点，利用a的取值范围，求出f（x）在x∈[﹣2，2]上的最大值，再求满足f（x）≤1时m的取值范围．解：（1）∵f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0），∴f′（x）=3x2+2ax﹣a2，∵f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，∴方程f′（x）=3x2+2ax﹣a2=0在[﹣1，1]上没有实数根，由△=4a2﹣12×（﹣a2）=16a2＞0，二次函数对称轴x=﹣＜0，当f′（x）=0时，即（3x﹣a）（x+a）=0，解得x=﹣a或x

3、=，∴，或＜﹣1（a＜﹣3不合题意，舍去），解得a＞3，∴a的取值范围是{a

4、a＞3}；（2）当a=1时，f（x）=x3+x2﹣x+m，∵f（x）有三个互不相同的零点，∴f（x）=x3+x2﹣x+m=0，即m=﹣x3﹣x2+x有三个互不相同的实数根．令g（x）=﹣x3﹣x2+x，则g′（x）=﹣（3x﹣1）（x+1）令g′（x）＞0，解得﹣1＜x＜；令g′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）和（，+∞）上为减函数，在（﹣1，）上为增函数，∴g（x）极小=g（﹣1）=﹣1，g（x）极大=g（）=；∴m的取值范围是（﹣1，）；（3）∵f′（x）=0时，x=﹣a

5、或x=，且a∈[3，6]时，∈[1，2]，﹣a∈（﹣∞，﹣3]；又x∈[﹣2，2]，∴f′（x）在[﹣2，）上小于0，f（x）是减函数；f′（x）在（，2]上大于0，f（x）是增函数；∴f（x）max=max{f（﹣2），f（2）}，而f（2）﹣f（﹣2）=16﹣4a2＜0，∴f（x）max=f（﹣2）=﹣8+4a+2a2+m，又∵f（x）≤1在[﹣2，2]上恒成立，∴f（x）max≤1，即﹣8+4a+2a2+m≤1，即m≤9﹣4a﹣2a2，在a∈[3，6]上恒成立∵9﹣4a﹣2a2在a∈[3，6]上是减函数，最小值为﹣87∴m≤﹣87，∴m的取值范围是{m

6、m≤﹣87}．2、

7、已知函数f（x）=cos（x﹣），g（x）=ex•f′（x），其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈[﹣，0]，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）试探究当x∈[，]时，方程g（x）=x•f（x）的解的个数，并说明理由．解题分析:（Ⅰ）化简f（x）=sinx，g（x）=excosx，g（0）=e0cos0=1；从而由导数的几何意义写出切线方程；（Ⅱ）对任意x∈[﹣，0]，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立可化为m≤[g（x）﹣x•f（x）]min，x∈[﹣，0]，从而设h（x）=g（

8、x）﹣x•f（x），x∈[﹣，0]，转化为函数的最值问题求解．（Ⅲ）设H（x）=g（x）﹣x•f（x），x∈[，]；从而由函数的单调性及函数零点的判定定理求解函数的零点的个数．解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=sinx，g（x）=excosx，g（0）=e0cos0=1；g′（x）=ex（cosx﹣sinx），g′（0）=1；故曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程为y=x+1；（Ⅱ）对任意x∈[﹣，0]，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立可化为m≤[g（x）﹣x•f（x）]min，x∈[﹣，0]，设h（x）=g（x）﹣x•f（x），x∈[﹣，0]，则h′（x）=ex

9、（cosx﹣sinx）﹣sinx﹣xcosx=（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx，∵x∈[﹣，0]，∴（ex﹣x）cosx≥0，（ex+1）sinx≤0；故h′（x）≥0，故h（x）在[﹣，0]上单调递增，故当x=﹣时，hmin（x）=h（﹣）=﹣；故m≤﹣；（Ⅲ）设H（x）=g（x）﹣x•f（x），x∈[，]；则当x∈[，]时，H′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣sinx﹣xcosx=（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx＜0，故H（x）在[，]上单调递减，故函数H（x）在