高考数学考前指导材料-函数题

《高考数学考前指导材料-函数题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、函数题1.设函数f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0)(1)若函数f(x)在xG［-1,1］内没有极值点，求实数a的取值范围；(2)a=l时函数f(x)有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；(3)若对任意的aG［3,6］,不等式f(x)S1在xe［-2,2］上恒成立,求实数m的取值范围.解题分析(1)耍使函数f(x)在xG［-l,1］内没有极值点，只需f'(x)=0在［・1,1］上没有实根即可，即f‘(x)=0的两根x=・a或x=

2、不在区间［・1，1］上；(2)a=l时，f(x)=x3+x2-x+m,f(x)有三个互不相同的

3、零点，即m=-x3-x2+x有三个互不相同的实数根，构造函数确定函数的单调性，求函数的极值，从而确定m的取值范围；(3)求导函数，来确定极值点，利用a的取值范

4、韦

5、,求出f(x)在x£［-2,2］上的最人值,再求满足f(x)<1时m的取值范围.解：(1)Vf(X)=x3+ax2-a2x+m(a>0),/.f'(x)=3x2+2ax-a2,・・・f(x)在x€［・l,1］内没冇极值点，.••方程f‘(x)=3x2+2ax・,=0在［-1,1］±没有实数根，由厶=4a2-12x(-a2)=16a2>0,二次函数对称轴x=-—<0,当―吋，

6、即ga)(W,解得一或弋(_a3,I"3・・・a的取值范围是｛a

7、a>3｝；(2)当a=l时，f(x)=x3+x2-x+m,-x2+x冇三个互不相同的实数根.(3x-1)(x+1)Vf(x)有三个互不相同的零点，/.f(x)=x3+x2-x+m=0,即m=-x3(x)<0,解得xV-1或x>-,3上为减函数，在(・1,丄)上为增函数,3令g(x)=-x3-x2+x,则g‘(x)=-令g‘(x)>0,解得-l

8、g(X)极小=g(-1)=-hg(x)极A=g(£)•5的取值范围是一，罷;⑶・和(x)=。时，或吨,且aG[3,6]时,-G[l,2],3又xG[-2,2],・・・f‘(x)在[・2,空)上小于0,f(x)是减函数;3ff(X)在(寺2]上大于0,f(x)是增函数；.*.f(x)max=max{f(-2),f(2)},而f(2)-f(-2)=16-4a2<0,f(x)max=f(・2)=-8+4a+2a2+m,乂Tf(x)<1在[-2,2]上恒成立,/.f(x)max

9、[3,6]上恒成立9-4a-2a2在aG[3,6]上是减函数，授小值为-87/.m<-87,Am的取值范围是{训血-87}.2、已知函数f(x)=cos(x-—),g(x)=ex*f,(x),其中e为自然对数的底数.2(I)求曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的切线方程；(II)若对任意xG[-弓，0],不等式g(x)>x»f(x)十m恒成立，求实数m的取值范围;TTTT(III)试探究当xe[—,—]W,方程g(x)=x<(x)的解的个数，并说明理山.JL二解题(I)化简f(x)=sinx,g(x)=cxcosx,g(0)=c°

10、cos0=l；从而山导数的儿何意义分析：写岀切线方程；(II)对任SxG[-—,0],不等式g(x)>x«f(x)+mU(成立可化为mS[g(x)-2x・f(x)]min，x6[-—,0],从而设h(x)=g(x)-x・f(x),x6[-—,0],转化乙乙为函数的最值问题求解.JTJT(III)设H(x)=g(x)-x・f(x),xE[—,—]；从而由函数的单调性及函数零点42的判定定理求解函数的零点的个数.解：(I)由题意得，f(x)=sinx,g(x)=excosx,g(0)=e°cos0=l：(x)=ex(cosx-sinx),

11、g‘(0)=1；故曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的切线方程为y=x+l；(II)对任意xG[-弓，0],不等式g(x)>x*f(x)+m恒成立对化为兀m<[g(x)-X>f(x)]mhvX6[-—,0],乙设h(x)=g(x)-x・f(x),xG[-—2-(ex+l)sinx,则h‘(x)=ex(cosx-sinx)-sinx-xcosx=(ex-x)cosxVxG［-—20］,/.(ex-x)cosx>0,(ex+l)sinx<0；故h‘(x)>0,故h(x)在［弓上单调递增,故当X=-弓时，hmin(X)=h(-斗)=■4

12、,兀故m<-—；2(II)设H(x)=g(x)-x・f(x),x£［——、——］；42TTJT则当XG［——t时,42(ex+l)sinx<0,H‘(x)=ex(cosx-sinx)-sinx-xcosx=(ex-x)c