高三理科数学尖子生辅导——函数中存在性与恒成立问题

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1、高三理科数学尖子生辅导函数部分——函数中存在性与恒成立问题函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点。在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分。解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②

2、分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等。一、函数性质法【例1】（1）已知函数其中,对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围；（2）已知两个函数，,对任意，存在，使得，求实数m的取值范围。二、分离参数法【例2】已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为．（1）求实数的值；（2）若对任意成立，求实数的取值范围。三、主参换位法【例3】已知函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数，(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若上恒成立，求的取值范围。（节选）四、数形结合法【例4】已知函数，在恒有，求实数的取值范围。五、存在性之常用模型及方法【例5】设函数，且.曲线在点处的切线的斜率为.（1）求的

3、值；（2）若存在，使得，求的取值范围.【巩固强化】：1.已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是.2.已知函数，当变化时，恒成立，则实数的取值范围是___________．3.已知函数，，，成立，则实数的取值范围是　　．4.设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．5.已知函数，其中m，a均为实数．（1）求的极值；（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得成立，求的取值范围．高三理科数学尖子生辅导函数部分——函数中存

4、在性与恒成立问题函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点。在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分。解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等。

5、一、函数性质法【例1】1）、已知函数，，其中，．对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；2）、已知两函数，，对任意，存在，使得，求实数m的取值范围。【分析】1）根据题意条件中的x是同一值，故不难想到将问题等价转化为函数恒成立，在通过分离变量，从而可创设出新函数，再求出此函数的最值来解决问题．2）根据题意在本题所给条件中不等式的两边它们的自变量x不一定是同一数值，故可分别对在两个不同区间内的函数和分别求出它们的最值，再根据只需满足即可求解．2）、对任意，存在，使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0，即，所以【点评】在解决函数存在性与恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的

6、函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.此法关键在函数的构造上，常见于两种----一分为二或和而为一，另一点充分利用函数的图象来分析，即体现数形结合思想。二、分离参数法【例2】已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为．（1）求实数的值；（2）若对任意成立，求实数的取值范围。【分析】（1）由结合条件函数的图象在点处的切线的斜率为，可知，可建立关于的方程：，从而解得；（2）要使对任意恒

7、成立，只需即可，而由（1）可知，∴问题即等价于求函数的最大值，可以通过导数研究函数的单调性，从而求得其最值：，令，解得，当时，，∴在上是增函数；当时，，∴在上是减函数，因此在处取得最大值，∴即为所求。【解析】（1）∵，∴，又∵的图象在点处的切线的斜率为，∴，即，∴；（2）由（1）知，，【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中，当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.此类