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《高考总复习经典讲义 空间向量及其运算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、空间向量及其运算知识点1、向量共线、共面的判定.1、共线:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是_______________.2、共面:如果两个向量a,b(不共线),那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x,y),使_______________.答案:p＝xa＋yb.3、不共面:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p＝____________________________,把{a,b,c}叫做空间的一个基底.知识点2、向
2、量运算律①两向量的数量积已知两个非零向量a,b,则____________________叫做向量a,b的数量积,记作________,即__________________.数量积的坐标运算,若a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则a·b＝____________________.②空间向量数量积的运算律结合律:(λa)·b＝____________;交换律:a·b＝_______;分配律:a·(b＋c)＝_____________.③模、夹角和距离公式设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b
3、2,b3),则
4、a
5、＝＝________________,cos〈a,b〉＝＝________________________.若A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则
6、
7、＝__________________________.题型一 直线的方程形式(1)空间向量:在空间中,具有______和______的量叫做空间向量.(2)相等向量:方向______且模______的向量.(3)共线向量定理1.若a＝(2x,1,3),b＝(1,－2y,9),且a∥b,则( )A.x＝1,y＝1B.x＝,y＝－C
8、.x＝,y＝－D.x＝－,y＝解:选C,∵a∥b,∴＝＝,∴x＝,y＝－.2.(2016·青岛月考)如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若＝a,＝b,＝c,则下列向量中与相等的向量是( )A.－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD.－a－b＋c解:选A,[＝＋＋＝－＋＋＝－a＋c＋(a＋b)＝－a＋b＋c.3.(2016·广州调研)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中,已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°,AB＝3,AD＝4,AA′＝5,则
9、
10、＝______
11、__.解:∵＝＋＋＝＋＋,∴
12、
13、2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝32＋42＋52＋2×3×4×cos60°＋2×4×5×cos60°＋2×3×5×cos60°＝97,∴
14、
15、＝.4.有下列4个命题:①若p＝xa＋yb,则p与a、b共面;②若p与a、b共面,则p＝xa＋yb;③若＝x＋y,则P、M、A、B共面;④若P、M、A、B共面,则＝x＋y.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.44.选B,①正确.②中若a、b共线,p与a不共线,则p＝xa＋yb就不成立.③正确.④中若M、A、B共线,点P不在此直线上
16、,则＝x＋y不正确.5.A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).5.共面,解:＝(3,4,5),＝(1,2,2),＝(9,14,16),设＝x＋y,即(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y).∴,从而A、B、C、D四点共面.题型二 空间基向量的应用6、已知空间四边形OABC中,M为BC的中点,N为AC的中点,P为OA的中点,Q为OB的中点,若AB＝OC,求证:PM⊥QN.设＝a,＝b,＝c.∵＝(＋)＝(b＋c),＝(
17、＋)＝(a＋c),∴＝＋＝－a＋(b＋c)＝(b＋c－a),＝＋＝－b＋(a＋c)＝(a＋c－b).∴·＝[c－(a－b)][c＋(a－b)]＝[c2－(a－b)2]＝(
18、
19、2－
20、
21、2)∵
22、
23、＝
24、
25、,∴·＝0.即⊥,故PM⊥QN.7、如图,在正四面体ABCD中,E、F分别为棱AD、BC的中点,则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________.设{,,}为空间一组基底,则＝＋,＝＋＝＋(－)＝－＋.∴·＝·＝－·－2＋·＋·＝－2－2＋2＋2＝－2.又
26、
27、＝
28、
29、＝
30、
31、,∴
32、
33、·
34、
35、＝
36、
37、2.∴cos〈,〉＝＝＝
38、－.∴异面直线AF与CE所成角的余弦值为.8、(2016·合肥调研)两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB,∠EBC＝90°,点M、N分别在BD、AE上,且AN＝DM.(1)求证:MN∥平面EBC;(2)求MN长度的最小值.解:如图所示,建立坐标系后,要证MN平行于平面EBC,只要证的横坐标为0即可.(1)证明 如图所示,以、、为单位正交基底建立空间直角坐
