数学成才之路选修

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1、理解类比推理概念，能利用类比推理的方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．本节重点：类比推理．本节难点：类比推理的特点及应用．合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．3．类比推理有以下几个特点：(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．4．

2、类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上的相似性和一致性，关键是把这些相似性与一致性确切表述出来，再由一类对象具有的其它特征、特性去推断另一类对象也可能具有这种特征、特性．1．类比推理由两类对象具有某些特征和其中一类对象的某些，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由到的推理．2．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过，再进行，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理．类似已知特

3、征特殊特殊观察、分析、比较联想、归纳猜想[例1]类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质．[解析](1)两实数相加后，结果是一个实数；两向量相加后，结果仍是一个向量．(2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律．即a＋b＝b＋a；a＋b＝b＋a.(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算．a＋x＝0与a＋x＝0都有唯一解，x＝－a与x＝－a.(4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a＋0＝a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，亦不改变该向

4、量的方向，即a＋0＝a.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合；球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合．这两个定义很相似．于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质．试将平面上的圆与空间中的球进行类比．[解析]圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：弦↔截面圆，直径↔大圆，周长↔表面积，圆面积↔球体积，等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两

5、弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆是等圆；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于经过切点的半径；圆的性质球的性质经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心圆的周长c＝πd球的表面积S＝πd2圆的面积S＝πr2球的体积V＝[分析]考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连结，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应的结论．在证明四面体中类似结论时，可考虑利用体积相等的方法证

6、明相应的结论．[点评]根据两类不同事物之间具有的某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质，这样的推理叫类比推理(简称类比)．类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的，也可能是假的，所以类比推理属于合情推理，虽然类比推理的结论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却十分有用，类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想．平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类对象．类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物

7、的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题猜想．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想．[解析]如图，在Rt△ABC中，[例3]如图，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．[分析]考虑到三个侧面的面积需要

8、作出三个侧面的高，由已知