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1、余数1.定义：在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整时，就产生余数，取余数运算。余数指整数除法屮被除数未被除尽部分。例如27除以6,商数为4,余数为3。2.在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重耍。取余数运算：amodb=c表示整数a除以整数b所得余数为c如：7mod3二13.余数性质：余数有如下一些重要性质（a,b,c均为自然数）：（1）大小法则：余数小于除数（2）式子变换：被除数二除数X商+余数除数二（被除数-余数）一商
2、商二（被除数-余数）三除数余数二被除数-除数X商（3）减法法则：如果a,b除以c的余数相同，那么8与b的差能被c整除。a4-c二k・・・mbFc二p…ma-b=cn例如，17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。(4)加法法则：3与b的和除以c的余数(不包括能整除)，等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。a4-c=k**・yb4-c二p・・・z(a+b)一c二r.・(y+z)例如，23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+1二4。注意：当余
3、数Z和大于除数时，所求余数等于余数Z和再除以c的余数。.(y+z)4-c例如，23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。(5乘法法则：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。aFc二k・・・yb4-c二p・・・z(aXb)一c二s…(yXz)例如，23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23X16)除以5的余数等于3X1二3。注意:当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。(yXz)4-c例如
4、，23,19除以5的余数分别是3和4,所以（23X19）除以5的余数等于（3X4）除以5的余数。性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。（6）倍数法则：a4-c=k**・ya-b=cn两数相减的差是除数的倍数。bFc二p・・・y645763—7=645757….6645763-630000=1576315763=7二15757….6。由以上可得出一个数减去除数盼倍数启得到的差，再除以除数「它的余数各原被除数是一样可1.例题例1・5120除以一个两位数得到的余数是64,求这个两位数。解：1.由性质（
5、2）可推出，除数X商二被除数-余数：5120-64=5056,2.5056应是除数的整数倍。（因为除数是一个两位数）3.将5056分解质因数，得到：5056二64X79。4.由性质（1）矢口，除数应大于余数（64）,再由除数是两位数，得到除数在67〜99之间，符合题意的5056的约数只有79,所以这个两位数是79o例2.被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数。解：1.因为被除数二除数x商+余数二除数X334-52,2.题冃已知：被除数=2143-除数-商-余数=2
6、143-除数-33-52=2058-除数，3.所以：除数X33+52=2058-除数，除数二(2058-52)4-34=59,4.被除数二2058-59二1999。例3.甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。解：因为甲二乙X11+32,所以甲+乙二乙XI1+32+乙二乙X12+32=1088,所以乙二(1088-32)4-12=88,甲=1088-乙二1000。答：甲数是1000,乙数是88。例4.有一个整数，用它去除70,110,160得到的三个余数之和是50,求这个数。解
7、：I.设这个整数为X70—X=A・・・.B110^X=C-D160FX二E・・・FB+D+F二502.因为50^3=16……2,根据抽屉原理可得三个余数中至少有一个大于16,根据余数性质91)可知除数大于16。3.由题中已知被除数可知除数不应大于70,所以除数在17〜70之间。4.由题意知：70二XA+B110二XC+D160二XE+F(70+110+160)=(XA+XC+XE)+(B+D+F)X(A+C+E)二(70+110+160)-(B+D+F)(70+110+160)-50=290应能被除数整
8、除。5.将290分解质因数，得到290-2X5X29,290在17〜70之间的约数有29和58o因为110—58二1……52>50,所以58不合题意。所求整数是29。例5.求478X296X351除以17的余数。解：1.先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质(5),可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数Z积除以17的余数。2.478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,3.因为余数乘积大于除数，所以(2X7X11)一17
