简述全等三角形问题中常见的辅助线的作法

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1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法三角形辅助线做法图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的

2、两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，

3、AC=3，则中线AD的取值范围是_________.本题的关键是如何把AB,AC,AD三条线段转化到同一个三角形当中.解:延长AD到E,使DE=DA,连接BE.又∵BD=CD;∠BDE=∠CDA.∴⊿BDE≌⊿CDA(SAS),BE=AC=5.∵AB-BEEF证明：延长FD到点G，使DG=DF，连接BG∵BD=CD，FD=DG，∠BDG=∠CDF∴△

4、BDG≌△CDF∴BG=CF∵ED⊥FG∴EF=EG在△ABG中，BE+BG>EG∵BG=CF，EG=EF∴BE+CF>EF例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC∠ACE=∠BCA，所以△BCA∽△ACE所以∠ABC=∠CAE因为DC=AC，所以∠ADC=∠DAC∠ADC=∠ABC+∠BAD所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE所以∠BAD=∠DAE即AD平分∠BAE应用：1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连

5、接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，-12-线段AM与DE的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC证明：过D作DM⊥AB，垂足为M,所以∠AMD=∠BMD=90°又因为AD=BD,DM是公共边所以△ADM≌△BDM(HL)所以AM=BM因为AB=2AC,所以AC=AM,因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠2，在△AD

6、C和△ADM中,AC=AM,∠2=∠1,AD为公共边，所以△ADC≌△ADM,-12-所以∠ACD=∠ADM=90,即:CD⊥AC2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD在AB上取点N,使得AN=AC∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN所以∠ANE=∠ACE又AC平行BD所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，C

7、A上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP证明：做辅助线PM‖BQ，与QC相交与M。（首先算清各角的度数）∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70°且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC（同位角相等）=180°—70°—40°=70°∴∠APB=∠APM又∵AP是BAC的角平分线，∴∠BAP=∠MAPAP是公共边∴△ABP≌△AMP(角边角）∴AB=AM，BP=MP在△