全等三角形问题中常见的辅助线的作法.doc

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1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)一、倍长中线（线段）造全等1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.-20-二、截长补短1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求

2、证;AB＝AD+BC。3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC-20-三、平移变换例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.四、借

3、助角平分线造全等1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.-20-五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.例2D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1）当绕点D转动时，求证DE=DF。（2）若AB

4、=2，求四边形DECF的面积。例3如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为；-20-参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知AB-BE<2AD

5、CF与EF的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,显然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知EG＝EF在△BEG中，由三角形性质知EG

6、∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE应用：1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．解：（1），；证明：延长AM到G，使，连B

7、G，则ABGC是平行四边形GCHABDMNE∴，又∵∴再证：∴，延长MN交DE于H∵∴∴-20-（2）结论仍然成立．证明：如图，延长CA至F，使，FA交DE于点P，并连接BF∵，∴FCPABDMNE∵在和中∴（SAS）∴，∴∴又∵，∴，且∴，二、截长补短1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC解：（截长法）在AB上取中点F，连FD△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DF⊥AB，故∠AFD＝90°△ADF≌△ADC（SAS）∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC-20-2

8、、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC解：（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE△ADE≌△AFE（SAS）∠ADE＝∠AFE，∠ADE+∠BCE＝180°∠AFE+∠BFE＝180°故∠ECB＝∠EFB△FBE≌△CBE（AAS）故有BF＝BC从而;AB＝AD+BC3、如图，已知在△ABC内，，，P，Q分别在