2017年北京师范大学第二附属中学高三上学期期中考试数学理试卷（word版）42063

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1、一、选择题：1.已知集合，则（）A．B．C．D．2.复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.设的内角的对边分别为，若，且，则（）A．3B．C．2D．4.已知为不同的直线，为不同的平面，下列四命题中，正确的是（）A．若，则B．若，且，则C．若，则D．若，则5.将函数的图象先向左平移个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（）A．B．C．D．6.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．B．C．4D．7.如果关于的方程的正实数解有且仅有一个，那么实

2、数的取值范围为（）A．B．C．D．8.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数（为函数的导函数），在上有且只有一个不同的零点，则称是在上的“关联函数”，若，是在上的“关联函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题9.设复数满足，其中是虚数单位，则的值为___________．10.若，且与的夹角为60°，则____________．11.命题“”，则为_____________．12.已知，则___________．13.已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，对于函数有下列几种描述：①是周期函数；②是它的一条对称轴；③是它图象的一个对称中心；④当

3、时，它一定取最大值．其中描述正确的是___________．　14.若对任意有唯一确定的与之对应，则称为关于的二元函数，现定义满足下列性质的为关于实数的广义“距离”：（1）非负性；，当且仅当时取等号；（2）对称性：；（3）三角形不等式：对任意的实数均成立．给出三个二元函数：①；②；③，则所有可能成为关于的广义“距离”的序号为____________．三、解答题15.已知函数．（1）求的单调递减区间；（2）设是锐角，且，求的值．16.在中，分别是内角的对边，且．　（1）求角；（2）若，求的面积．17.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．（1）证明：平面

4、；（2）设二面角为60°，，求三棱锥的体积．18.已知函数图象上的点处的切线方程为．　（1）若函数在时有极值，求的表达式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．19.已知函数，其中为自然对数的底数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意时，方程的解的个数，并说明理由．20.已知集合，其中表示和中所有不同值的个数．（1）设集合，分别求和；（2）若集合，求证：；（3）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？参考答案一、选择题12345678CCCDDDBA二、填空题：9.210.11.，使得成立12.13.①③14.①三、解

5、答题15.（1），由得，16.（1）由正弦定理，得，所以等式可化为，即，故，因为，所以，故，所以；（2）由余弦定理，得，即，又，解得，或，所以．17.（1）如图，连接交于点，连接，因为为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以，因为平面平面，所以平面；（2）因为平面，为矩形，所以两两垂直，如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则，设，则，设为平面的法向量，则，即，可取，又为平面的法向量，由题设，即，解得，因为为的中点，所以三棱锥的高为，三棱锥的体积18.（1），函数在处的切线斜率为-3，所以，即，①又，得，②函数在时有极值，所以，

6、③由①②③解得，所以；（2）由（1）知，所以，因为函数在区间上单调递增，所以导函数在区间上的值恒大于或等于零，则，得，所以实数的取值范围为．19.（1）由题意得，；；故曲线在点处的切线方程为；（2）对任意，不等式恒成立可化为，，设，则，因为，所以；故，故在上单调递增，故当时，；故；（3）设，；则当时，，当，显然有；当时，由，即有，即有，所以当时，总有，故在上单调递减，故函数在上至多有一个零点；又，；且在上是连续不断的，故函数在上有且只有一个零点．20.（1）由，得，由得；（2）因为共有项，所以，对于集合，任取和，其中，当时，不妨设，则，即；当时，若的值两两不

7、同，因此，；（3）不妨设，则可得，从而中至少有个不同的数，即，取，则，即的不同值共有个，因此，的最小值为．