1.3空间几何体的表面积与体积（通用） (2)

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1、河北省清河中学--格物致知--二简单几何体的外接球与内切球问题导学案清河中学张艳高考要求：近年来在高考中经常出现多面体与球的内切与外接的问题，充分体现了对学生空间想象能力，运算求解能力和转化思想的考查，题目难度为中等或偏难。学习目标：1、熟练掌握正方体、长方体、正四面体的外接球、内接球的球心所在位置，会求半径。2、掌握正棱柱、锥，直棱柱、锥，及特殊的柱、锥等的内外接球的半径求法。教学重点：准确找出外接球、内接球的球心所在位置教学难点：掌握外接球、内接球的半径求法授课类型：新授课教学模式：启发、诱导、探究教学教具：多媒体教学

2、过程：一、复习引入：1正方体的内切球：设正方体的棱长为，求：（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。2.在球面上有四个点、、、.如果、、两两互相垂直，且,求这个球的表面积是.二、新知探究：一、外接球问题（一）由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的．探究1：小组内合作探究例1、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是.例2、在直三棱柱中，,则直三棱柱的外接球的表面积.例3、三棱锥A-BCD中，BA⊥A

3、D，BC⊥CD，且AB=1，AD=，则此三棱锥外接球的体积为.小组讨论解决：由例题及性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1：正方体或长方体的外接球的半径为．结论2：正棱柱的外接球的球心是.．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形的连线的．结论4：正棱锥的外接球的球心在其上，具体位置可通过计算找到．结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的就是其外接球的球心。（二）构造正方体或长方体确定球心探究2：小组内合作探究例4、正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积

4、为.例5、在三棱锥中，,，则三棱锥外接球的表面积.2河北省清河中学--格物致知--例6、在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积.例7、若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，则球的表面积为.归纳总结：途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．二、内切

5、球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的。如：棱锥的内切球（分割法）将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.例9、正四面体A-BCD的棱长为2，则内切球与外接球的半径比为.例10、正四棱锥，底面边长为2，侧棱长为3，则内切球的半径是，外接球半径是小组讨论解决：1、内切球球心到多面体各的距离均相等，外接球球心到多面体各

6、的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心是否重合？3、正棱锥的内切球和外接球球心是否都在高线上？是否重合？4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。圆柱（轴截面为正方形）、圆锥的内切球（截面法）例11、圆锥的高为4，底面半径为2，求该圆锥内切球与外接球的半径比.三、当堂检测：练习1、沿矩形ABCD的对角线AC折起，形成空间四边形ABCD，使得二面角B-AC-D为120°，若AB=2，BC=1，则此时四面体ABCD的外接球的体积为.练习2、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的

7、面积分别为6、4和3，那么它的外接球的体积是.练习3、三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，⊥底面，且，则此三棱锥内切球的半径为.练习4、圆柱的底面直径和高都是6，求该圆柱内切球的半径.3四、课堂小结：（写出自己的收获和疑惑）本节课学习了以下内容：内外切球如何确定球心求半径？1、外接球的补形法、定义法，2、内切球的等体积法，定义法，构造法。五、课后作业：另附2