课标高考总复习·数学选修4-4-1坐标系

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1、选修4－4坐标系与参数方程第一节　坐标系二、极坐标系1．极坐标的定义在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O点称为，Ox称为．平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，ρ称为极径，θ称为极角．极点极轴2．极坐标与直角坐标的关系把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为

2、(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝，y＝.另一种关系为ρ2＝，tanθ＝．ρcos_θρsin_θx2＋y2三、常见曲线的极坐标方程答案：C2．在极坐标系中，若点A，B的坐标分别是则△AOB为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形答案：B答案：D4．(课本习题改编)极坐标方程ρ＝sinθ＋2cosθ能表示的曲线的直角坐标方程为________．解析：由ρ＝sinθ＋2cosθ，得ρ2＝ρsinθ＋2ρcosθ，∴x2＋y2－2x－y＝0.答案：x2＋y2－2x－y＝05．曲线ρ＝4sinθ与ρ＝2的交点坐标是__

3、______．考向一　平面直角坐标系下图形的变换[例1]在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：答案：y′＝3sin2x′考向二　极坐标与直角坐标的互化[例2](2013年苏州模拟)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．[解析](1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，2．(2013年高淳模拟)圆O1和圆O2的极坐标方程分

4、别为ρ＝4cosθ，ρ＝－sinθ.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程．解析：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ.所以x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0为圆O1的直角坐标方程．同理x2＋y2＋y＝0为圆O2的直角坐标方程．(2)由相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x＋y＝0.考向三　求曲线的极坐标方程[例3]在直角坐标系xOy中，以O为极

5、点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－)＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．3．如图，点A在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直角三角形，△OPA的顶角为∠OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状．解析：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝4的极坐标方程为ρcosθ＝4，设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)．∵点A在直线ρcosθ＝4上．∴ρ0cosθ0＝4.①【

6、思想方法】转化与化归思想在坐标系中的应用【典例】(2012年高考安徽卷)在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．【思路导析】将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解．【思维升华】本题考查了极坐标方程和平面直角坐标系中一般方程的转化，考查了转化与化归思想，题目难度不大，做本题时有可能因对极坐标和平面直角坐标的关系不熟而受挫．在进行坐标互化时要注意以下几点：(1)互化的三个前提条件①极点与原点重合；②极轴与x轴正方向重合；③取相同的单位长度．(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意

7、判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．1．(2012年高考陕西卷)直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为______．本小节结束请按ESC键返回