《2.2.2 间接证明》同步练习1

《《2.2.2 间接证明》同步练习1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《2.2.2间接证明》同步练习1．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时正确的反设为____________________．解析　恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数．答案　a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数2．用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是________．①将结论与条件同时否定，推出矛盾；②肯定条件，否定结论，推出矛盾；③将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用；④将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件．答案　②3．求证：一个

2、三角形中，至少有一个内角不小于60°，用反证法证明时的假设为“三角形的________”．解析　“不小于”的否定是“小于”．答案　三个内角都小于60°4．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是________．①假设a，b，c都是偶数；②假设a，b，c都不是偶数；③假设a，b，c至多有一个是偶数；④假设a，b，c至多有两个是偶数．解析　“至少有一个”的否定是“没有一个”，即“都不是”．答案　②5．将“函数f(x)＝4x2－2(p－2)x

3、－2p2－p＋1在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，使f(c)>0”反设，所得命题为“____________”．答案　函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]上恒小于等于06．已知a、b、c是一组勾股数，即a2＋b2＝c2，求证：a、b、c不可能都是奇数．证明　假设a、b、c都是奇数，∵a、b、c是一勾股数，∴a2＋b2＝c2.　　　　(*)∵a、b、c都是奇数，∴a2、b2、c2也都是奇数，∴a2＋b2是偶数，这样(*)式的左边是偶数，右边是奇数，产生矛盾．∴a、b、c不可能都是奇数．7．用

4、反证法证明命题“a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”；那么假设的内容是__________．解析　“至少有n个”的否定是“最多有n－1个”．答案　a，b中没有一个能被5整除8．和两异面直线AB，CD都相交的直线AC，BD的位置关系是________．解析　假设AC与BD共面于α，则点A，C，B，D都在α内，∴AB与CD共面于α，这与AB，CD异面的条件矛盾．∴AC与BD异面．答案　异面9．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－

5、2)…(a7－7)为偶数．证明　假设p为奇数，则________均为奇数①因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________②＝________③＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．答案　a1－1，a2－2，…，a7－7(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)10．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．解析　若方程x2＋(a－1)x＋a2＝0有实根，则(a－1)2－4a2≥0，∴－1≤a

6、≤.若方程x2＋2ax－2a＝0有实根，则4a2＋8a≥0，∴a≤－2或a≥0，∴当两个方程至少有一个实根时，－1≤a≤或a≤－2或a≥0.即a≤－2或a≥－1.答案　a≤－2或a≥－111．已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．证明　(1)任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0.ax2－x1＞1，且ax1＞0，所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.又因为x1＋1＞0，x2＋1＞0.所以－＝＝

7、＞0，所以f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－＞0.故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(或利用导数知识证明)(2)假设存在x0＜0(x0≠－1)，满足f(x0)＝0，则ax0＝－，且0＜ax0＜1，所以0＜－＜1，即＜x0＜2，与假设x0＜0矛盾，故方程f(x0)＝0没有负根．12．已知函数f(x)＝，如果数列{an}满足a1＝4，an＋1＝f(an)，求证：当n≥2时，恒有an<3成立．证明　法一(直接证法)　由an＋1＝f(an)得an＋1＝，∴＝－＋＝－22＋≤，∴an＋1<0或an＋1≥2；(1)若an＋1

8、<0，则an＋1<0<3，∴结论“当n≥2时，恒有an<3”成立；(2)若an＋1≥2，则当n≥2时，有an＋1－an＝－an＝＝≤0，∴an＋1≤an，即数列{an}在n≥2时单调递减；由a2＝＝＝<3，可知an≤a2<3，在n≥2时成立．综上，由(1)、(2