《7.3.2 圆的一般方程》导学案

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1、《7.3.2　圆的一般方程》导学案基础自主预习1．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F＜0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点D2＋E2－4F＞0表示以为圆心，以为半径的圆做一做(1)圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的圆心坐标为__________，半径为__________．提示：(1，－2)　3(2)方程x2＋y2＋3x－4y＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是__________．提示：2．求圆的方程的方法(1)公式

2、法：求圆心坐标和半径的方法．(2)待定系数法：列方程求D，E，F的方法．试一试(1)平面内任一圆的一般方程都是关于x，y的二元二次方程，反之是否成立？提示：不一定．如方程x2＋2xy＋y2＝0，即x＋y＝0，代表一条直线，而不是一个圆．(2)已知点M(x0，y0)和圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，如何判断点M与圆的位置关系？提示：点与圆的位置关系代数关系点M在圆外x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＞0点M在圆上x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在圆内x

3、02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＜0课堂互动探究一、圆的判别及标准方程与一般方程的互化【例1】判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．思路分析本题可直接利用D2＋E2－4F＞0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．解法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2

4、时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝

5、m－2

6、.解法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝

7、m－2

8、.规律总结对于这个类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与y2的系数相等，②不含xy的项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看右端

9、是否为大于零的常数即可．1－1下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.解：(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项，∴它不能表示圆．(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆．(4)方程2x2

10、＋2y2－5x＝0化为2＋y2＝2，∴它表示以为圆心，为半径的圆．二、求圆的一般方程【例2】已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆的一般方程．思路分析设出圆的一般方程，然后将已知点的坐标代入方程组成方程组，解方程组求出D，E，F，也可用圆的几何性质求解．解法一：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，由题意得解得故圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.解法二：由题意可求得弦AC的垂直平分线的方程为x＝2，BC的

11、垂直平分线的方程为x＋y－3＝0，由解得∴圆心P的坐标为(2，1)．圆的半径r＝

12、AP

13、＝＝5.∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25，即x2＋y2－4x－2y－20＝0.方法总结若已知圆上的点较多(两个或三个)，通常设出圆的一般方程，用待定系数法求解．2－1过原点，且在x轴，y轴上的截距分别为p，q(p≠0，q≠0)的圆的方程是(　　)．A．x2＋y2－px－qy＝0　　　B．x2＋y2＋px－qy＝0C．x2＋y2－px＋qy＝0D．x2＋y2＋px＋qy＝0解析：设圆的方程为x2＋y

14、2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵圆过(0，0)，(p，0)，(0，q)三点，∴即∴圆的方程为x2＋y2－px－qy＝0.答案：A2－2圆心是(－3，4)，且经过点M(5，1)的圆的一般方程为________．解析：设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意知：－＝－3，－＝4；又M(5，1)在圆上，∴52＋12＋D·5＋E·1＋F＝0.解之可得：D＝6，E＝－8，F＝－48，故圆的方程是x2＋y2＋6x－8y－48＝0.答案：x2＋y2＋6x－8y－48＝0三、与圆有关的轨迹问题【例3】已知P