《3.4 直线与平面的垂直关系》同步练习

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1、《3.4直线与平面的垂直关系》同步练习1．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为u＝(－2，0，－4)，则(　　)．A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析　u＝－2a，∴a∥u，∴l⊥α.答案　B2．下列各结论中，正确的共有(　　)．①同一平面的不同的法向量是共线向量；②若a是平面α的法向量，b是平面α内的向量，则a·b＝0；③设非零向量b，c均在平面α内，若a·b＝0，a·c＝0，则a是平面α的法向量A．0个B．1个C．2个D．3个解析　结论①②正确．③中当a是零向量时，虽有a·

2、b＝0，a·c＝0，但a不是平面α的法向量．答案　C3．在四面体的所有面中，直角三角形的个数至多为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．1B．2C．3D．4解析　如图，在四面体P－ABC中，若PA⊥平面ABC，且∠ABC＝90°，可以证明其四个面都是直角三角形．答案　D4．对于四面体ABCD，给出下列四个命题，其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若

3、AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.答案　①④5．设A是空间任意一点，n为空间任意一非零向量，则适合条件·n＝0的点M的轨迹是________．解析　由·n＝0，知⊥n.因此点M的轨迹是过点A且以向量n为法向量的平面．答案　过点A且以n为法向量的平面6．如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点．求证：EF⊥平面PAB.证明　以D为坐标原点，DA的长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．设E(a，0，0)，其中a>0，则C(2a，0，

4、0)，A(0，1，0)，B(2a，1，0)，P(0，0，1)，F.∴＝，＝(2a，1，－1)，＝(2a，0，0)．∵·＝0，∴⊥，即EF⊥PB.∵·＝0，∴⊥，即EF⊥AB.又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PB∩AB＝B.∴EF⊥平面PAB.7．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)．A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC解析　如图，易证BC∥DF，故A正确．因AE⊥BC，DF∥BC，故DF⊥

5、AE，同理DF⊥PE.易得DF⊥面PAE，故B正确．由B易知D正确，故选C.答案　C8．已知平面α内有一个点Α(2，－1，2)，它的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)．A．(1，－1，1)B.C.D.解析　要判断点P是否在平面内，只需判断向量PA与平面的法向量n是否垂直，即PA·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．对于选项A，PA＝(1，0，1)，则PA·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，PA＝，则PA·n＝·(3，1，2)＝0，故

6、选B.答案　B9．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，则m＝________．解析　依题意知：(2，m，1)·＝0，∴2＋＋2＝0，∴m＝－8.答案　－810．若直线a和b是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1，1，1)和(2，－3，－2)，则直线a和b的公垂线的一个方向向量是________．解析　设直线a与b的公垂线的一个方向向量为(x，y，1)，则(x，y，1)·(1，1，1)＝x＋y＋1＝0，(x，y，1)·(2，－3，－2)＝2x－3y－2＝0.联立得：x＝－，y＝－.∴

7、(x，y，1)＝＝(－1，－4，5)．答案　或(1，4，－5)(答案不唯一)11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面正方形的中心，M为棱DD1的中点．试证：B1O⊥平面MAC.证明　法一　如图(1)，连结AB1、CB1，由AB1＝CB1，又O为AC的中点，∴B1O⊥AC.连结OM、MB1、B1D1，可证MB＝OM2＋OB，∴B1O⊥OM.根据直线与平面垂直的判定定理知：B1O⊥平面MAC.法二　如图(2)建立直角坐标系D－xyz，设DD1＝1则M、C、B1、O的坐标分别为、(0，1，0)、(

8、1，1，1)、.∴＝，＝，·＝－＋＝0，因此⊥.同理可证：⊥，∴B1O⊥平面MAC.12．(创新拓展)三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.证明　法一　如右图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A