精校解析Word版---高考专题30 不等式的性质的解题技巧-高考数学（文）命题热点全覆盖

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1、高考专题32不等式的性质的解题技巧一．【学习目标】1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．3．掌握不等式的性质及应用．二．【知识要点】1．不等式的定义用不等号“>，≥，＜，≤，≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做不等式．2．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔ab⇔bb，b>c⇒a>c；(3)可加性：a>b⇔a+c>b+c；a>b，c>d⇒a+c>b+d

2、；(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb>0，c>d>0⇒ac>bd；(5)倒数法则：a>b，ab>0⇒；(6)乘方性质：a>b>0⇒(n≥2，n∈N*)；(7)开方性质：a>b>0⇒(n≥2，n∈N*)；(8)有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则①真分数的性质：<；>(b－m>0)；②假分数的性质：>；<(b－m>0)．4．基本不等式(1)a2＋b2≥2ab；变式：≥ab；当且仅当a＝b时等号成立；(2)如果a≥0，b≥0，则≥；变式：ab≤，当且仅当a＝b时

3、，等号成立，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．5．(1)若a>0，b>0，且a＋b＝P(定值)，则由ab≤＝可知，当a＝b时，ab有最大值；(2)若a>0，b>0且ab＝S(定值)，则由a＋b≥2＝2可知，当a＝b时，a＋b有最小值2.三．典例分析（一）由已知条件判断不等式例1．已知条件甲：，条件乙：且，则甲是乙的（）（2）设数列的前n项和为，证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）由题意得，，即，，由可得，由，得，故.（2）由题意得，所以①，由和得，，所以，因

4、此②，由①②得，所以练习2．选修4-5：不等式选讲已知为任意实数.（1）求证：；（2）求函数的最小值.【答案】（1）见解析（2）1【解析】（1），因为，所以.（2）.即.点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：

5、

6、a

7、－

8、b

9、

10、≤

11、a±b

12、≤

13、a

14、＋

15、b

16、，通过适当的添、拆项来放缩求解．（六）利用不等式求范围例6．已知函数f（x）=x2-ax，h（x）=-3x+2，其中a＞1．设不等式f（1）+f（-1）≥2

17、x

18、的解集为A．（

19、Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）若对任意x1∈A，存在x2∈A，满足2f（x1）=h（x2），求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）A=[-1，1]（Ⅱ）（1，]【解析】（Ⅰ）f（1）+f（-1）≥2

20、x

21、可化为

22、x

23、≤1，解得-1≤x≤1，∴A=[-1，1]（Ⅱ）h（x）=-3x+2在[-1，1]上是递减函数，所以h（x）的值域为[-1，5]f（x）=x2-ax的对称轴为x=，（a＞1）当＞1即a＞2时，f（x）在[-1，1]上递减，值域为[1-a，1+a]，2f（x）的值域为[2-2a，2+2a]，依题意[2-2a，2

24、+2a]⊆[-1，5]，∴，解得a矛盾，舍去当≤1，即1＜a≤2时，f（x）min=f（）=-，f（x）max=max{1-a，1+a}依题意解得1＜a故所求a的取值范围是（1，]练习1．已知,且－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.【答案】【解析】由题意得解得所以,因为，所以；因为，所以。两式相加得，故的取值范围是.练习2．设不等式的解集为.（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】（Ⅰ）令，由得，解得．∴.（Ⅱ）由不等式，的，令

25、，要使，则，整理得，∴，解得.∴实数的取值范围．点睛：（1）与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值．（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．练习3．已知函数的定义域为，其中为常数；（1）若，且是奇函数，求的值；（2）若，，函数的最小值是，求的最大值；（3）若，在上存在个点，满足，，，使得，求实数的取值范围；【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）因为函数为奇函数，根据奇函数定义可得可得对任意

26、恒成立，变形可得对任意恒成立，可求；(2)将函数的解析式讨论去掉绝对值号，。两段函数的对称轴都为，因为。讨论与-1的大小，可得两段二次函数在区间上的单调性，求得最小值。得最小值，求两段的取值范围，取较大的为最大值。（3）由（2）可知在上单调递增，在上单调递减，所以，由绝对值不等式可得，所以，整理得，解得为所求.试题解析：解：(1)∵是奇函数，∴对任意恒成立，∴，即对任意恒成立，∴；(2)，∵，∴，∴，(3)∵，且在上单调递增，在上单调递减，