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时间:2019-05-15
《精校解析Word版---高考专题37 不等式选讲-高考数学(理)命题热点全覆盖》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考专题37不等式选讲一.【学习目标】1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:①
2、a+b
3、≤
4、a
5、+
6、b
7、;②
8、a-b
9、≤
10、a-c
11、+
12、c-b
13、.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
14、ax+b
15、≤c;
16、ax+b
17、≥c;
18、x-a
19、+
20、x-b
21、≥c.3.会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题;能够利用基本不等式求一些特定函数的最(极)值.4.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.二.【知识要点】1.绝对值的概念和几何意义代数:
22、a
23、=几何意义
24、:
25、a
26、表示数轴上坐标为±a的点A到原点的距离.2.绝对值不等式性质
27、a
28、-
29、b
30、≤
31、a±b
32、≤
33、a
34、+
35、b
36、.(1)
37、a+b
38、≤
39、a
40、+
41、b
42、,当且仅当ab≥0时取等号;(2)
43、a-b
44、≤
45、a
46、+
47、b
48、,当且仅当ab≤0时取等号.3.绝对值不等式的解法原则是转化为不含绝对值的不等式求解.基本型:a>0,
49、x
50、<a⇔-a51、x52、>a⇔x<-a或x>a.(1)c>0,53、ax+b54、≤c⇔,55、ax+b56、≥c⇔.(2)c>0,57、x-a58、+59、x-b60、≥c,61、x-a62、+63、x-b64、≤c.三种解法:图解法(数形结合)、零点分区65、法(定义)、绝对值的几何意义(数轴).4.比较法证明不等式(1)作差比较法:知道a>b⇔a-b>0,ab,只要证明a-b>0即可,这种方法称为作差比较法.(2)作商比较法:由a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明a>b,只要证明即可,这种方法称为作商比较法.5.综合法证明不等式从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,即“由因导果”的方法.这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法.6.分析法证明不等式证明命题时,我们还常常从66、要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、性质、或已证明的定理等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.7.反证法证明不等式先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.8.放缩法证明不等式证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩67、小,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.三.方法总结1.含绝对值不等式的求解策略(1)解含有绝对值的不等式的指导思想是设法去掉绝对值符号.常用的方法是:①由定义分段讨论(简称零点分区间法);②利用绝对值不等式的性质(题型法);③平方法;④数形结合法等.(2)解含参数的不等式,如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关,就必须分类讨论.注意:①要考虑参数的总取值范围.②用同一标准对参数进行划分,做到不重不漏.(3)含绝对值不等式的证明,要善于应用分析转化法.(4)灵活运用绝对值不等式68、的两个重要性质定理69、a70、-71、b72、≤73、a±b74、≤75、a76、+77、b78、,特别注意等号成立的条件.2.作差比较法是证明不等式最基本、最重要的方法,其关键是变形,通常通过因式分解,利用各因式的符号进行判断,或进行配方,利用非负数的性质进行判断.3.综合法证明不等式时,主要利用基本不等式、函数的单调性以及不等式的性质,在严密的推理下推导出结论,综合法往往是分析法的逆过程,所以在实际证明时,用分析法分析,用综合法表述证明推理过程.4.某些不等式的条件与结论,或不等式的左右两边联系不明显,用作差法又难以对差进行变形,难以运用综合法直接证明79、,这时常用分析法,以便发现联系.分析的过程中,综合条件、定理等因素进行探索,把分析与综合结合起来,形成分析综合法.5.有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法,凡是含有“至少”“唯一”或者含有其他否定词的命题,适宜用反证法.6.放缩法是一种常用的证题技巧,放缩必须有目标,而目标可以从求证的结论中和中间结果中寻找.常用的放缩技巧有添舍放缩,拆项对比放缩,利用函数的单调性和重要不等式放缩等.四.典例分析(一)解绝对值不等式例1.设函数.(1)若,解不等式;(2)求证:.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】(180、)因为,所以,即或故不等式的解集为(2)由已知得:所以在上递减,在递增即所以练习1已知函数,.(Ⅰ)若恒成立,求的最小值;(Ⅱ)若,求不等式的解集.【答案】(1)2(2)练习2.已知函数.(I)当时,求不等式的解集;(II)求证:.【答案】(I);(II)详见解析.【解析】(Ⅰ)当时,,由,得解得的解集为;(Ⅱ),当且仅当时等号成
51、x
52、>a⇔x<-a或x>a.(1)c>0,
53、ax+b
54、≤c⇔,
55、ax+b
56、≥c⇔.(2)c>0,
57、x-a
58、+
59、x-b
60、≥c,
61、x-a
62、+
63、x-b
64、≤c.三种解法:图解法(数形结合)、零点分区
65、法(定义)、绝对值的几何意义(数轴).4.比较法证明不等式(1)作差比较法:知道a>b⇔a-b>0,ab,只要证明a-b>0即可,这种方法称为作差比较法.(2)作商比较法:由a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明a>b,只要证明即可,这种方法称为作商比较法.5.综合法证明不等式从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,即“由因导果”的方法.这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法.6.分析法证明不等式证明命题时,我们还常常从
66、要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、性质、或已证明的定理等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.7.反证法证明不等式先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.8.放缩法证明不等式证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩
67、小,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.三.方法总结1.含绝对值不等式的求解策略(1)解含有绝对值的不等式的指导思想是设法去掉绝对值符号.常用的方法是:①由定义分段讨论(简称零点分区间法);②利用绝对值不等式的性质(题型法);③平方法;④数形结合法等.(2)解含参数的不等式,如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关,就必须分类讨论.注意:①要考虑参数的总取值范围.②用同一标准对参数进行划分,做到不重不漏.(3)含绝对值不等式的证明,要善于应用分析转化法.(4)灵活运用绝对值不等式
68、的两个重要性质定理
69、a
70、-
71、b
72、≤
73、a±b
74、≤
75、a
76、+
77、b
78、,特别注意等号成立的条件.2.作差比较法是证明不等式最基本、最重要的方法,其关键是变形,通常通过因式分解,利用各因式的符号进行判断,或进行配方,利用非负数的性质进行判断.3.综合法证明不等式时,主要利用基本不等式、函数的单调性以及不等式的性质,在严密的推理下推导出结论,综合法往往是分析法的逆过程,所以在实际证明时,用分析法分析,用综合法表述证明推理过程.4.某些不等式的条件与结论,或不等式的左右两边联系不明显,用作差法又难以对差进行变形,难以运用综合法直接证明
79、,这时常用分析法,以便发现联系.分析的过程中,综合条件、定理等因素进行探索,把分析与综合结合起来,形成分析综合法.5.有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法,凡是含有“至少”“唯一”或者含有其他否定词的命题,适宜用反证法.6.放缩法是一种常用的证题技巧,放缩必须有目标,而目标可以从求证的结论中和中间结果中寻找.常用的放缩技巧有添舍放缩,拆项对比放缩,利用函数的单调性和重要不等式放缩等.四.典例分析(一)解绝对值不等式例1.设函数.(1)若,解不等式;(2)求证:.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】(1
80、)因为,所以,即或故不等式的解集为(2)由已知得:所以在上递减,在递增即所以练习1已知函数,.(Ⅰ)若恒成立,求的最小值;(Ⅱ)若,求不等式的解集.【答案】(1)2(2)练习2.已知函数.(I)当时,求不等式的解集;(II)求证:.【答案】(I);(II)详见解析.【解析】(Ⅰ)当时,,由,得解得的解集为;(Ⅱ),当且仅当时等号成
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