专题提升（十五）巧用旋转进行证明与计算

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1、专题提升(十五)　巧用旋转进行证明与计算【经典母题】已知等边三角形ABC(如图Z15－1)．(1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形；(2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的判断．图Z15－1　　经典母题答图解：(1)如答图所示；(2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥AE.证明略．【思想方法】　旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口．【中考变形】1．如图Z15－2，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，

2、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数是(　D　)图Z15－2A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图Z15－3，P是等腰直角三角形ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝(　B　)A．1∶B．1∶2C.∶2D．1∶图Z15－3　　中考变形2答图【解析】如答图，连结AP，PP′，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝90°.∵△A

3、BC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′.在△ABP和△CBP′中，∴△ABP≌△CBP′(SAS)，∴AP＝P′C.∵P′A∶P′C＝1∶3，∴AP＝3P′A.∵△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB.∵∠AP′B＝135°，∴∠AP′P＝135°－45°＝90°，∴△APP′是直角三角形．设P′A＝x，则AP＝3x，根据勾股定理，得PP′＝＝＝2x，∴P′B＝PB＝2x，∴P′A∶PB＝x∶2x＝1∶2.3．[2017·徐州]如图Z15－4，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3，将线段AC绕点A按逆时针方向

4、旋转60°，得到线段AD，连结DC，DB.(1)线段DC＝__4__；(2)求线段DB的长度．图Z15－4中考变形3答图解：(1)∵AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4；(2)如答图，作DE⊥BC于点E.∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵AC⊥BC，∴∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，在Rt△CDE中，DE＝DC＝2，CE＝DC·cos30°＝4×＝2，∴BE＝BC－CE＝3－2＝.在Rt△BDE中，BD＝＝＝.4．如图Z15－5①，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连结BD，CD.

5、(1)判断BD与AC的位置关系和数量关系，并给出证明；(2)如图②，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？为什么？(3)如图③，将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．图Z15－5解：(1)BD与AC的位置关系是BD⊥AC，数量关系是BD＝AC.证明：中考变形4答图①如答图①，延长BD交AC于点F.∵AE⊥BC于点E，∴∠BED＝∠AEC＝90°.∵AE＝BE，DE＝CE，∴△DBE≌△CAE(SAS)，∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∠BDE＝∠ACE.∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠ACE.∵∠AC

6、E＋∠CAE＝90°，∴∠ADF＋∠CAE＝90°，∴BD⊥AC；(2)否．证明：如答图②，AC与BD交于点F，∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠AED＝∠DEC＋∠AED，中考变形4答图②即∠BED＝∠AEC.∵AE＝BE，DE＝CE，∴△BED≌△AEC(SAS)，∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∠DBE＝∠CAE.∵∠BFC＝∠ACD＋∠CDE＋∠BDE＝∠ACD＋∠CDE＋∠ACE＝90°，∴BD⊥AC；(3)如答图③，AC与BD交于点F.∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，中考变形4答图③∴

7、∠BEA＋∠AED＝∠DEC＋∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，∴△BED≌△AEC(SAS)，∴∠BDE＝∠ACE，∴∠DFC＝180°－(∠BDE＋∠EDC＋∠DCF)＝60°，∴BD与AC的夹角度数为60°或120°.5．阅读下面的材料：小伟遇到这样一个问题：如图Z15－6①，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图②，利