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《浙江专版2018年高考数学二轮专题复习重难增分训练五圆锥曲线的研究性学习》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、重难增分训练(五)圆锥曲线的研究性学习1.已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.解:(1)已知定点A(4,0),设圆心C(x,y),MN线段的中点为E,由几何图象知ME==4,CA2=CM2=ME2+EC2⇒(x-4)2+y2=42+x2⇒y2=8x.即圆心C的轨迹方程为y2=8x.(2)证明:点B(-1,0),设P(x1,y1),Q(x2,y
2、2),由题知y1+y2≠0,y1y2<0,y=8x1,y=8x2.由x轴是∠PBQ的角平分线可得=⇒=⇒8(y1+y2)+y1y2(y2+y1)=0⇒8+y1y2=0.直线PQ方程为:y-y1=(x-x1)⇒y-y1=(8x-y)⇒y(y2+y1)-y1(y2+y1)=8x-y⇒y(y2+y1)+8=8x⇒y=0,x=1.所以直线PQ过定点(1,0).2.(2018届高三·杭州市联谊校联考)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,P为椭圆C1上任意一点,且·最大值的取值范围是[c2,3
3、c2],其中c=.(1)求椭圆C1的离心率e的取值范围;(2)设双曲线C2以椭圆C1的焦点为顶点,顶点为焦点,B是双曲线C2上在第一象限内的任意一点,当e取得最小值时,是否存在常数λ(λ>0),使得∠BAF1=λ∠BF1A恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设P(x,y),又F1(-c,0),F2(c,0),-7-∴=(-c-x,-y),=(c-x,-y),∴·=x2+y2-c2.由+=1,得y2=b2-,其中0≤x2≤a2.∴·=x2+b2-c2=x2+b2-c2.∴当x2=a2时,·取得最大值
4、,且(·)max=b2,由题意得c2≤b2≤3c2,c2≤a2-c2≤3c2.∴≤≤,即≤e2≤,∴≤e≤.(2)当e=时,a=2c,b=c.∴双曲线C2:-=1,A(2c,0).设B(x0,y0)(x0>0,y0>0),则-=1.当AB⊥x轴时,x0=2c,y0=3c,则tan∠BF1A==1,故∠BF1A=.故∠BAF1==2∠BF1A,猜想存在常数λ=2,使得∠BAF1=λ∠BF1A恒成立.当AB不垂直于x轴,即x0≠2c时,tan∠BAF1=,tan∠BF1A=.∴tan2∠BF1A==.又y=3c2=3(x-c
5、2),∴tan2∠BF1A===tan∠BAF1.-7-又2∠BF1A与∠BAF1同在∪内,∴2∠BF1A=∠BAF1.综上,存在常数λ=2,使得∠BAF1=λ∠BF1A恒成立.3.(2017·郑州市模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F,A为短轴的一个端点,且
6、OA
7、=
8、OF
9、=(其中O为坐标原点).(1)求椭圆的方程;(2)若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P,试问x轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点?若存在,求出点Q的坐标;
10、若不存在,请说明理由.解:(1)由已知得b=c=,∴a2=b2+c2=4,∴椭圆的方程为+=1.(2)由(1)知,C(-2,0),D(2,0).由题意可设直线CM:y=k(x+2),P(x1,y1).∵MD⊥CD,∴M(2,4k).由消去y,整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0,∴Δ=(8k2)2-4(1+2k2)(8k2-4)>0.由根与系数的关系得-2x1=,即x1=.∴y1=k(x1+2)=,∴P.设Q(x0,0),且x0≠-2.若以MP为直径的圆恒过DP,MQ的交点,则MQ⊥DP,∴·=0恒成立.=
11、(2-x0,4k),=.∴·=(2-x0)·+4k·=0,即=0恒成立,∴x0=0.∴存在点Q(0,0),使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点.4.(2017·四川双流中学模拟)已知动圆P与圆F1:(x+3)2+y2=81,圆F2:(x-3)2+y2-7-=1都内切,设圆心P的轨迹为曲线C,Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点,O为坐标原点,过点F2作OQ的平行线交曲线C于M,N两个不同的点.(1)求曲线C的方程;(2)试探究
12、MN
13、和
14、OQ
15、2的比值能否为一个常数.若能,求出这个常数;若不能,请说明理由.解:(1
16、)设圆心P的坐标为(x,y),半径为r,则∴
17、PF1
18、+
19、PF2
20、=8>6=
21、F1F2
22、,∴圆心P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中2a=8,2c=6,∴a=4,c=3,b2=a2-c2=7,故曲线C的方程为+=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x3,y3),直线OQ:x=my,则直线MN:x=