高中数学第一章计数原理1.2.2组合与组合数公式1学案新人教a版

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1、1．2.2　组合(一)[学习目标]1．理解组合及组合数的概念．2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．[知识链接]1．排列与组合有什么联系和区别？答　排列与组合都是从n个不同元素中取出m个元素；不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列选出的元素是有顺序的．组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果．2．两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？答　两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同．两个相同的组合是只要元素相同，不看元素顺序如何．[预习导引]1．组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合

2、成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．3．组合数公式C＝＝＝(n，m∈N*，m≤n).要点一　组合概念的理解例1　判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？9(3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，

3、有多少种选法？解　(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C＝45.(2)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C＝45.(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为C＝120.(4)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为A＝720.规律方法　排列、组合问题的判断方法(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序．(2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个

4、结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪演练1　判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来．(1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？(2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？解　(1)已知集合的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有C个．(2)发邮件与顺序

5、有关，是排列问题，共写了A个电子邮件．(3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有A种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有C种票价．要点二　组合数公式的应用例2　(1)计算：C＋C＋C；(2)求值：C＋C；(3)解方程：C＝C.解　(1)C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝5050；9(2)由组合数定义知：∴4≤n≤5，又∵n∈N*，∴n＝4或5.当n＝4时，C＋C＝C＋C＝5；当n＝5时，C＋C＝C＋C＝16.(3)由原方程及组合数性质可知3n＋6＝4n－2，或3n＋6＝18－(4n－2)，∴n＝2，或

6、n＝8，而当n＝8时，3n＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去．因此n＝2.规律方法(1)公式C＝＝，一般用于求值计算；(2)公式C＝(m，n∈N*，且m≤n)，一般用于化简证明．在具体选择公式时要根据题目特点正确选择．(3)根据题目特点合理选用组合数的两个性质C＝C，C＝C＋C，能起到简化运算的作用，需熟练掌握．跟踪演练2　(1)计算：C＋C；(2)求C＋C的值；(3)证明：C＝C.(1)解　C＋C＝C＋C＝＋200＝4950＋200＝5150.(2)解　由组合数定义知：即∴≤n≤，∵n∈N*，∴n＝10，∴C＋C＝C＋C＝C＋C

7、＝＋31＝466.(3)证明　C＝·＝＝C.9要点三　组合的简单应用例3　一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？解　(1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是C＝C＝＝56.(2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球，可以分两步完成：第一步，从7个白球中任取4个白球，有C种取法；第二步，把1个红球取出，有C种取法．故不同取法的种数是：C·C＝C＝C＝35.(3)从口袋里任取5个球，其中不含

8、红球，只需从7个白球中任取5个白球即可，不同取法的种数是C＝C＝＝21.规律方法　基本组合问题的解法：(1)判断是否为组合问题；(2)是否分类或分步；(3)根据组合相关知识进行求解．跟踪演练3