2019-2020年高中数学第一章计数原理1.2.2组合与组合数公式1学案新人教A版选修

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1、2019-2020年高中数学第一章计数原理1.2.2组合与组合数公式1学案新人教A版选修[学习目标]1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式,并会应用公式解决简单的组合问题.[知识链接]1.排列与组合有什么联系和区别?答 排列与组合都是从n个不同元素中取出m个元素;不同之处是组合选出的元素没有顺序,而排列选出的元素是有顺序的.组合是选择的结果,排列是选择后再排序的结果.2.两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?答 两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同.两个相同的组合是只要元素相

2、同,不看元素顺序如何.[预习导引]1.组合的概念一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号C表示.3.组合数公式C===(n,m∈N*,m≤n).要点一 组合概念的理解例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数.(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话?(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次

3、),共进行多少场次?(3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法?(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表,有多少种选法?解 (1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C=45.(2)是组合问题,因为每两支球队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,没有顺序的区别,组合数为C=45.(3)是组合问题,因为3个代表之间没有顺序的区别,组合数为C=120.(4)是排列问题,因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的,排列数为A=720.规律方法 排列、组合

4、问题的判断方法(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么,区分的标志是有无顺序.(2)区分有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题.跟踪演练1 判断下列问题是组合还是排列,并用组合数或排列数表示出来.(1)若已知集合{1,2,3,4,5,6,7},则集合的子集中有3个元素的有多少?(2)8人相互发一个电子邮件,共写了多少个邮件?(3)在北京、上海、广州、成都四个民航

5、站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?解 (1)已知集合的元素具有无序性,因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关,是组合问题,共有C个.(2)发邮件与顺序有关,是排列问题,共写了A个电子邮件.(3)飞机票与起点站、终点站有关,故求飞机票的种数是排列问题,有A种飞机票;票价只与两站的距离有关,故票价的种数是组合问题,有C种票价.要点二 组合数公式的应用例2 (1)计算:C+C+C;(2)求值:C+C;(3)解方程:C=C.解 (1)C+C+C=C+C=C=C=5050;(2)由组合

6、数定义知:∴4≤n≤5,又∵n∈N*,∴n=4或5.当n=4时,C+C=C+C=5;当n=5时,C+C=C+C=16.(3)由原方程及组合数性质可知3n+6=4n-2,或3n+6=18-(4n-2),∴n=2,或n=8,而当n=8时,3n+6=30>18,不符合组合数定义,故舍去.因此n=2.规律方法(1)公式C==,一般用于求值计算;(2)公式C=(m,n∈N*,且m≤n),一般用于化简证明.在具体选择公式时要根据题目特点正确选择.(3)根据题目特点合理选用组合数的两个性质C=C,C=C+C,能起到简化运算

7、的作用,需熟练掌握.跟踪演练2 (1)计算:C+C;(2)求C+C的值;(3)证明:C=C.(1)解 C+C=C+C=+200=4950+200=5150.(2)解 由组合数定义知:即∴≤n≤,∵n∈N*,∴n=10,∴C+C=C+C=C+C=+31=466.(3)证明 C=·==C.要点三 组合的简单应用例3 一个口袋里装有7个白球和1个红球,从口袋中任取5个球.(1)共有多少种不同的取法?(2)其中恰有一个红球,共有多少种不同的取法?(3)其中不含红球,共有多少种不同的取法?解 (1)从口袋里的8个球中任

8、取5个球,不同取法的种数是C=C==56.(2)从口袋里的8个球中任取5个球,其中恰有一个红球,可以分两步完成:第一步,从7个白球中任取4个白球,有C种取法;第二步,把1个红球取出,有C种取法.故不同取法的种数是:C·C=C=C=35.(3)从口袋里任取5个球,其中不含红球,只需从7个白球中任取5个白球即可,不同取法的种数是C=C==21.规律方法 基本组合问题的解法:(1)判断是否为组合问题;(2

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