浙江专用2019高考数学二轮复习专题七数学思想方法选用第1讲函数与方程思想数形结合思想学案

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1、第1讲 函数与方程思想、数形结合思想高考定位 函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查;数形结合思想一般在选择题、填空题中考查.1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程的思想在解题中的应

2、用(1)函数与不等式的相互转化,对于函数y=f(x),当y>0时,就转化为不等式f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决,这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.3.数形结合是一种数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:(1)借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;(2)借助于数

3、的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.4.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合.热点一 函数与方程思想的应用[应用1] 不等式问题中的函数(方程)法【例1-1】(1)f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1],总有f(x)≥

4、0成立,则a=________.13(2)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是________.解析 (1)若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;当x>0即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥-.设g(x)=-,则g′(x)=,所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,因此g(x)max=g=4,从而a≥4.当x<0即x∈[-1,0)时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≤-,设g(x)=-,则g(x

5、)在区间[-1,0)上单调递增,因此g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4.综上a=4.(2)设F(x)=f(x)g(x),由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,得F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)在R上为奇函数.又当x<0时,F′(x)=f′(x)·g(x)+f(x)g′(x)>0,所以x<0时,F(x)为增函数.因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,所以x>0时,F(x)也是增函数.因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3),所以,可作y=F(x)的示意图如图所示,由图可知F(x)

6、<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3).答案 (1)4 (2)(-∞,-3)∪(0,3)探究提高 (1)在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题;(2)函数f(x)>0或f(x)<0恒成立,一般可转化为f(x)min>0或f(x)max<0;已知恒成立求参数范围可先分离参数,然后利用函数值域求解.[应用2] 数列问题的函数(方程)法【例1-2】已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+p·3n(n∈N*,p为常数),a1,a2+6,a3成等差数列.(1)求p的值及数列{an}的通项公式;13(2)设数列{bn}满足b

7、n=,证明:bn≤.(1)解 由a1=3,an+1=an+p·3n,得a2=3+3p,a3=a2+9p=3+12p.因为a1,a2+6,a3成等差数列,所以a1+a3=2(a2+6),即3+3+12p=2(3+3p+6),得p=2.依题意知,an+1=an+2×3n.当n≥2时,a2-a1=2×31,a3-a2=2×32,…,an-an-1=2×3n-1.将以上式子相加得an-a1=2(31+32+…+3n-1),所以an-a1=2×=3n-3,所以an=3n(n≥2).又a1=3符合上式,故an=3n.(2)证明 因为an=3n,所以bn=.所以b

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