2020届高考数学（理）大一轮复习：函数与方程思想专练

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1、第三部分　数学思想专练••函数与方程思想专练一、选择题1.椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其一交点为P，则

2、PF2

3、＝(　　)A.B.C.D．4答案　C解析　如图，令

4、F1P

5、＝r1，

6、F2P

7、＝r2，那么⇒⇒r2＝.2.[2018·湖北七校联考]已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)A.B.C．－D．－答案　C解析　依题意，方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1个解，故f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)有

8、1解，∴2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0有唯一解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.3.设a>1，若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，这时a的取值的集合为(　　)A.{a

9、1

10、a≥2}C.{a

11、2≤a≤3}D．{2,3}答案　B解析　依题意得y＝，当x∈[a,2a]时，y＝∈a2，a2⊆[a，a2]，因此有a2≥a，又a>1，由此解得a≥2.故选B.4.若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　)A.x＋y≥0B．x＋y≤0C.x－y≤0D．x－y≥0答案　B解

12、析　原不等式可变形为2x－5－x≤2－y－5y.即2x－x≤2－y－－y.故设函数f(x)＝2x－x，f(x)为增函数，所以x≤－y，即x＋y≤0.选B.5.已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝(　　)A.0B．mC．2mD．4m答案　B解析　解法一：(特殊函数法)根据f(－x)＝2－f(x)可设函数f(x)＝x＋1，由y＝，解得两个点的坐标为此时m＝2，所以(xi＋yi)＝m.故选B.解法二：由题设得[f(x)＋f(－

13、x)]＝1，点(x，f(x))与点(－x，f(－x))关于点(0,1)对称，则y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称.又y＝＝1＋，x≠0的图象也关于点(0,1)对称.则交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对，且关于点(0,1)对称.则(xi，yi)＝i＋i＝0＋×2＝m.故选B.二、填空题6.设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________.答案　(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析　由S5S6＋15＝0得(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋1

14、5＝0，即2a＋9a1d＋10d2＋1＝0，∴Δ＝81d2－8(10d2＋1)≥0，解得d≤－2或d≥2.7.已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________.答案　解析　解法一：由已知得∴sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，∴＝＝.解法二：令x＝，∵＝，且＝＝＝＝.∵＝，解得x＝，即＝.8.满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是________.答案　2解析　可设BC＝x，则AC＝x，根据面积公式得S△ABC＝x，由余弦定理计算得cosB＝，代入上式得S△ABC＝x＝.由得2－2

15、时，S△ABC最大值为2.三、解答题9.已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值.解　(1)设{an}的公差为d，由已知条件，解出a1＝3，d＝－2，所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.(2)Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2，所以n＝2时，Sn取到最大值4.10.设函数f(x)＝cos2x＋sinx＋a－1，已知不等式1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，求a的取值范围.解　f(x)＝cos2x＋sinx＋a－1＝1－sin2x＋sinx＋a－1＝

16、－2＋a＋.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝时，函数有最大值f(x)max＝a＋，当sinx＝－1时，函数有最小值f(x)min＝a－2.因为1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，所以f(x)max≤且f(x)min≥1，即解得3≤a≤4，所以a的取值范围是[3,4].11.设函数f(x)＝lnx＋(a为常数).(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，求实数a的值；(2)若函数f(x)在(e，＋∞)内有极值，求实数a的取值范围.解　(1)函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，由f(x)＝lnx＋得f′(x)

17、＝－，由于曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，所以f′(2)＝0，即－＝0，所以a＝.(2)因为f′(x)＝－＝，若函数f(x)在