【9A文】数列通项公式的求法集锦

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1、【MeiWei_81-优质适用文档】数列通项公式的求法集锦一,累加法形如(n=2、3、4…...)且可求,则用累加法求。有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。例1.在数列{}中,=1,(n=2、3、4……),求{}的通项公式。解:∵这n-1个等式累加得:=故且也满足该式∴().例2.在数列{}中,=1,(),求。解:n=1时,=1以上n-1个等式累加得==,故且也满足该式∴()。一、累乘法形如(n=2、3、4……),且可求,则用累乘法求。有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。例3.在数列{}中,=1,,求。解:由已

2、知得,分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘,即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时,故且=1也适用该式∴().例4.已知数列{}满足=,,求。解:由已知得,分别令n=1,2,3,….(n-1),代入上式得n-1个等式累乘,即=【MeiWei_81-优质适用文档】【MeiWei_81-优质适用文档】所以,又因为也满足该式,所以。三、构造等比数列法原数列{}既不等差,也不等比。若把{}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列,使之等比,从而求出。该法适用于递推式形如=或=或=其中b、c为不相等的常数,为一次式。例5、(

3、06福建理22)已知数列{}满足=1,=(),求数列{}的通项公式。解:构造新数列,其中p为常数,使之成为公比是的系数2的等比数列即=整理得:=使之满足=∴p=1即是首项为=2,q=2的等比数列∴==例6、(07全国理21)设数列{}的首项,=,n=2、3、4……()求{}的通项公式。解:构造新数列,使之成为的等比数列即=整理得:=满足=得=∴p=-1即新数列首项为,的等比数列∴=故=+1例7、(07全国理22)已知数列{}中,=2,=()求{}的通项公式。解:构造新数列,使之成为的等比数列=整理得:=+使之满足已知条件=+2∴解得∴是首项为的等比数

4、列,由此得=∴=例8、已知数列{}中,=1,=,求数列的通项公式。分析:该数列不同于以上几个数列,该数列中含是变量,而不是常量了。故应构造新数列,其中为常数,使之为公比是的系数2的等比数列。解:构造数列,为不为0的常数,使之成为q=2的等比数列即=整理得:=满足=得∴新数列是首项为=,q=2的等比数列∴=∴=例9、(07天津文20)在数列{}中,=2,=,求数列的通项。解:构造新数列,使之成为q=4的等比数列,则=整理得:=满足=,即得∴【MeiWei_81-优质适用文档】【MeiWei_81-优质适用文档】新数列的首项为,q=4的等比数列∴∴四、构

5、造等差数列法数列{}既不等差,也不等比,递推关系式形如,那么把两边同除以后,想法构造一个等差数列,从而间接求出。例10.(07石家庄一模)数列{}满足且。求、、是否存在一个实数,使此数列为等差数列?若存在求出的值及;若不存在,说明理由。解:由==81得=33;又∵==33得=13;又∵==13,∴=5假设存在一个实数,使此数列为等差数列即===该数为常数∴=即为首项,d=1的等差数列∴=2+=n+1∴=例11、数列{}满足=(),首项为,求数列{}的通项公式。解:=两边同除以得=+1∴数列是首项为=1,d=1的等差数列∴=1+故=例12.数列{}中,

6、=5,且(n=2、3、4……),试求数列{}的通项公式。解:构造一个新数列,为常数,使之成为等差数列,即整理得+3l,让该式满足∴取,得,d=1,即是首项为,公差d=1的等差数列。故∴=例13、(07天津理21)在数列{}中,=2,且()其中>0,求数列{}的通项公式。解:的底数与的系数相同,则两边除以得【MeiWei_81-优质适用文档】【MeiWei_81-优质适用文档】即∴是首项为,公差d=1的等差数列。∴∴。五,取倒数法有些关于通项的递推关系式变形后含有项,直接求相邻两项的关系很困难,但两边同除以后,相邻两项的倒数的关系容易求得,从而间接求出

7、。例14、已知数列{},=,,求=?解:把原式变形得两边同除以得∴是首项为,d=的等差数列故∴。例15、(06江西理22)已知数列{}满足,且()求数列{}的通项公式。解:把原式变形成两边同除以得即……⑴构造新数列,使其成为公比q=的等比数列即整理得:满足⑴式使∴∴数列是首项为,q=的等比数列∴∴。例16.(06江西文22)已知各项均为正数的数列{}满足:,且求数列{}的通项公式。解:把原式变形为两边同除以得移项得:所以新数列是首项为q=2的等比数列。故解关于的方程得。六.利用公式求通项有些数列给出{}的前n项和与的关系式=,利用该式写出,两式做差,

8、再利用导出与的递推式,从而求出。例17.(07重庆21题)已知各项均为正数的数列{}的前n项和为满足>1且6

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