《近世代数》试题库及答案.doc

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1、近世代数模拟试题库一、计算题(每题10分，共30分)1.求S＝{（12），（13）}在三次对称群的正规化子和中心化子。2.设G＝{1，－1，i，－i}，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。3.设R是由一切形如（x，y是有理数）方阵作成的环，求出其右零因子。近世代数试题第7页共7页二、单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）。A0B1C－1D1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）。AG只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群BG是全体整数的集合，G对普通

2、加法来说作成一个群CG是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群DG是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是（）。A群G是指一个集合B环R是指一个集合C群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在D环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是()。A反身性B对称性C传递性D封闭性5、下列哪个不是的共轭类()。A（1）B（123），（132），（23）C（123），（132）D（12），（13）

3、，（23）近世代数试题第7页共7页三、证明题(每小题15分，共45分)1、设R是由一切形如（x，y是有理数）方阵作成的环，证明是其零因子。2、设Z是整数集，规定a·b＝a＋b－3。证明：Z对此代数运算作成一个群，并指出其单位元。近世代数试题第7页共7页3、证明由整数集Z和普通加法构成的（Z，＋）是无限阶循环群。近世代数试题第7页共7页近世代数模拟试题答案一、单项选择题(每题5分，共25分)1．A2．D3．C4．D5．B二、计算题(每题10分，共30分)1．解：正规化子N（S）＝{（1），（23）}。。。。。。。。。。。。

4、（6分）中心化子C（S）＝{（1）}。。。。。。。。。。。。。。。。。。（4分）2．解：群G中的单位元是1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分）1的阶是1，－1的阶是2，i和－i的阶是4。。。。（4×2分）3．解：设其右零因子为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分）所以＝＝0。。。。。。。。。。。。。。。（3分）因为x任意，所以a＝b＝0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）因此右零因子为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分）三、证明题(每小题15分共45分)

5、1．证明：设其右零因子为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分）近世代数试题第7页共7页所以＝＝0。。。。。。。。。。。。。。。。（5分）因为x，y任意，所以a＝b＝0。。。。。。。。。。。。。。。。。（8分）同理设其右零因子为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）所以＝＝0。。。。。。。。。。。。。。。。（12分）因为x，y任意，所以a＝b＝0。。。。。。。。。。。。。。。。。（14分）因此零因子为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（15分）2．明：首先该代数运算封闭。。。。。。

6、。。。。。。。。。。。。。。（3分）其次我们有：（a·b）·c＝（a＋b－3）·c＝（a＋b－3）＋c－3＝a＋（（b＋c－3）－3）＝a·（b·c），结合律成立。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（6分）令e＝3，验证a·e＝a＋e－3＝a，有单位元。。。。（7分）对任意元素a，6－a是其逆元，因为a·（6－a）＝3。。。（8分）因此，Z对该运算作成一个群。显然，单位元是e＝3。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）3．证明：首先证明

7、（Z，＋）是群，+满足结合律，对任意的，，0是运算+的单位元又由于：所以从而（Z，＋）为群。。。。。。。。。（2分）由于满足交换律，所以（Z，＋）是交换群。。。。（4分）（Z，＋）的单位元为0，对于1，由于1+（-1）=0，所以，。。。（5分）于是对任意，近世代数试题第7页共7页若，则：；若，则。。。。。。。。。。。（8分）若，则。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（10分）综上,有，对任意的.因而，,从而（Z，＋）是无限阶循环群。。。。。。。。。。。。。。。。。。（15分）近世代数试题第7页

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