【同步练习】《基本不等式：√ab≤(a b)2》（人教）

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1、《基本不等式：≤》同步练习◆一、选择题1．若a，b，c>0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值是(　　)A.－1B.＋1C．2＋2D．2－22．函数y＝3x2＋的最小值是(　　)A．3－3B．－3C．6D．6－33．若x>0，y>0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　)A.≥B.＋≥1C.≥2D.≥14．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)A．8B．4C．1D.5．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是(　　)A．a＋b＋≥2B．(a＋b)≥4C.≥2D.>6．设0

2、2B．logab＋logba≥－2C．logab＋logba≤－2D．logab＋logba>2◆二、填空题◆7．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为______。8．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________。9．设x>－1，则函数y＝的最小值是________。◆三、解答题◆◆10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋＋6的最小值；(2)求函数y＝(x＞1)的最值。11．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)≥9。12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米

3、400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)。问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低。答案和解析1、答案：　D解析：　由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2⇒a(a＋b)＋(a＋b)c＝(a＋b)(a＋c)＝4－2，而2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2＝2＝2(－1)＝2－2。当且仅当a＋b＝a＋c，即b＝c时等号成立。2、答案：　D解析：：y＝3(x2＋)＝3(x2＋1＋－1)≥3(2－1)＝6－3。3、答案：　B解析：　若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，∴＋＝(x＋y)＝≥(2＋2)＝1，当且仅当x＝y＝2时，等号成立。4、答案：　

4、B解析：　由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1。因为a>0，b>0，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立。5、答案：　D解析：　a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；(a＋b)≥2·2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；∵a2＋b2≥2ab>0，∴≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；∵a＋b≥2，且a，b∈(0，＋∞)，∴≤1，≤。当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立。6、答案：　C解析：　∵00，－logba＞0，∴(－logab)＋(－logba

5、)＝(－logab)＋≥2，当且仅当ab＝1时，等号成立，∴logab＋logba≤－2。7、答案：　解析：　设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为。8、答案：　(－∞，2]解析：　x2－ax＋1≥0，x∈(0,1]恒成立⇔ax≤x2＋1，x∈(0,1]恒成立⇔a≤x＋，x∈(0,1]恒成立，∵x∈(0,1]，x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，∴a≤2。9、答案：　9解析：　∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当t＝，即t

6、＝2时取等号，此时x＝1。∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9。10、解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴y＝x＋＋6＝x＋1＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＋1＝，即x＝1时，取等号．∴x＝1时，函数的最小值是9。(2)y＝＝＝(x＋1)＋＝(x－1)＋＋2.∵x＞1，∴x－1＞0。∴(x－1)＋＋2≥2＋2＝8。当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立，∴y有最小值8。11、证明：(1)＋＋＝＋＋＝2，∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时，等号成立)。(2)方法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋＝1＋＝2＋，同理，1＋＝2＋，∴＝＝5

7、＋2≥5＋4＝9.∴≥9(当且仅当a＝b＝时，等号成立)。方法二：＝1＋＋＋。由(1)知，＋＋≥8，故＝1＋＋＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立。12、解：设污水处理池的长为x米，则宽为米。总造价f(x)＝400×(2x＋2×)＋100×＋60×200＝800×(x＋)＋12000≥1600＋12000＝36000(元)当且仅当x＝(x＞0)，即x＝15时等号成立。