《基本不等式：√ab≤a b2》（人教）

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1、高中数学人教A版（必修五）畅言教育《基本不等式：≤》◆教学目标1、知识与技能（1）理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；（2）理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；（3）能够运用基本不等式解决生活中的应用问题。2、过程与方法本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。3、情感态度与价值观培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力，进一步培养学生学习

2、数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性。用心用情服务教育高中数学人教A版（必修五）畅言教育◆教学重难点◆【教学重点】两个不等式的证明和区别。【教学难点】理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵。◆教学过程（一）新课导入这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标。会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。（二）新课讲授在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边的长为a、b，那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积和小于正方形ABCD的面积,故a2+b2≥2ab。当直角三角形变

3、为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有a2+b2=2ab。证明不等式≤(a>0，b>0)?证明：　∵a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，∴a＋b≥2，∴≤，用心用情服务教育高中数学人教A版（必修五）畅言教育当且仅当a＝b时，等号成立。基本不等式的几何解释：如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连结AD，BD。由射影定理或三角形相似可得CD＝，由CD小于或等于圆的半径，可得不等式≤。当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立。（三）例题探究例1　已知a，b，

4、c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2。证明：由基本不等式可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2。跟踪训练1设a>0，b>0，证明：＋≥a＋b。证明：∵a>0，b>0，∴＋a≥2b，＋b≥2a，∴＋≥a＋b。例2　(1)已知m，n＞0，且m＋n＝16，求mn的最大值；(2)已知x＞3，求f(x)＝x＋的最小值；(3)设x＞0，y＞0，且2x＋y＝1

5、，求＋的最小值。[解]　(1)∵m，n＞0且m＋n＝16，用心用情服务教育高中数学人教A版（必修五）畅言教育∴由基本不等式可得mn≤2＝2＝64，当且仅当m＝n＝8时，mn取得最大值64。(2)∵x＞3，∴x－3＞0，＞0，于是f(x)＝x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当x－3＝即x＝5时，f(x)取得最小值7。(3)法一：∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1，∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即y＝x时，等号成立，解得x＝1－，y＝－1，∴当x＝1－，y＝－1时，＋有最小值3＋2。法二：＋＝·1＝(2x＋y)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，以下同法一。跟踪训练2

6、　(1)已知lga＋lgb＝2，求a＋b的最小值；(2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值。解：(1)由lga＋lgb＝2可得lgab＝2，即ab＝100，且a＞0，b＞0，因此由基本不等式可得a＋b≥2＝2＝20，当且仅当a＝b＝10时，a＋b取得最小值20。(2)方法一：由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＋＝1。∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝18。当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立。∴x＋y的最小值是18。方法二：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x。∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，∴x＋y＝x＋＝x＋用心用

7、情服务教育高中数学人教A版（必修五）畅言教育＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18。当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立。∴x＋y的最小值是18。例3　某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)则(　　)A、x＝B、x≤C、x＞D、x≥答案：B解析：第二年的产量为A＋A·a＝A(1＋a)，第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)。若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2。依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∵a＞0，