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1、第十章双线性函数一内容概述1线性函数ⅰ）线性函数设V是数域P上线性空间，映射：VP满足①(+)=()+()V②()=k()V，kP则是V上的一个线性函数ⅱ）线性函数的简单性质：(1)设是V上的线性函数，则(0)=0，(2)如果的线性组合：，那么定理设V是P上一个n维线性空间，是V的一组基，而是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数使()=2线性函数空间设V是数域上P线性空间，V上的全体线性函数的集合记为L(V,P),定义ⅰ）加法()()=()+()L(V,P)Vⅱ）数乘，则也是一个p上的线性空间。并称为的对偶空间。3对偶基设为的一组基，定义=，则是的一组基。称为的对偶基。定理的维数
2、等于的维数，而且是的一组基定理设及,,是线性空间的两组基，它们的对偶基分别与及。如果由到,,的过渡矩阵为A，那么由到的过渡矩阵为4.双线性函数设是数域P上一个线性空间。是上一个二元函数，即对中任意两个向量都唯一地对应P中的一个数。记为。如果有以下性质：①=k+k②则称为上的双线性函数。设是数域上维线性空间上的一个双线性函数，是的一组基，则矩阵A=叫做在下的度量矩阵。5对称双线性函数是线性空间上一个双线性函数，如果对中任意两个向量都有=则称为对称双线性函数。如果对中任意两个向量都有=━则称为反对称双线性函数。定理设是数域P上维线性空间。是上对称双线性函数，则存在的一组基使在这组基下的
3、度量矩阵为对角阵。推论1设是复数域上n维线性空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，对中任意向量=，=，有=(0)推论2设是实数域上维线性空间，是上对称双线性函数，则存在的一组基，对中任意向量=，=，有定理设f是维线性空间上的反对称双线性函数，则存在的一组基,使设是数域P上的一个线性空间，在上定义了一个非退化的双线性函数，则称为一个双线性度量空间。特别地当为维实线性空间，是上非退化对称双线性函数时，称为伪欧氏空间。二例题选讲例1设是一个线性空间，是中非零向量，试证：存在使,=1,2,S证对S用数学归纳法当S=1时所以存在使即S=1使命题成立假定当S=K时命题成立。即存在使i=1,
4、2,K下证S=K+1时，命题成立若则命题得证。若但由知存在使设总可取数C使a,=1,2,K令且归纳法完成例2设是数域P上的线性空间的非零向量，证明：有使证因为,是中的非零向量，所以是的对偶空间中的非零向量。由例1知，存在使即(),例3设是一个n维欧氏空间，对中确定的向量定义一个函数：（1）证明：是上的线性函数；（2）证明：到的映射：是到的同构映射（在同构的定义下，欧氏空间可看成自身的对偶空间）。证是上的线性函数。（2）先证是单射。事实上，设而所以有，即得到。对于，从而矛盾。又，而同构。例4设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换（1）证明：对V上的线性函数，仍为V上的线性函数；（2
5、）定义v到自身的映射为：证明是v上的线形变换；（3）,,是V的一组基，是其对偶基，并设在下的矩阵为。证明：在下的矩阵为A(称的转置映射)。证（1）令g()=(())）,VkPg(+)=((+))=(()+())=(())+(())=g()+g(),g(k)=((k))=(k())=k(())=kg()是V上的线性函数。（2）h,hV,k,PV(kh+h)()=kh()+h()=(kh+h)()是V的线性函数。（3）由条件()=()AA=()()=()BB=有()=()=()=a()()=故有例5设,,是线性空间V的一个基，是它的对偶基，今给出V中向量=–=++=+试证,,是V的一个
6、基，并求它的对偶基。解因为()=()=()A而0所以,,线性无关，故它是V的一个基。因此A是,,到,,的过渡矩阵。用g,g,g表示,,的对偶基。我们求出(A)。那么(g,g,g)=()(A)=()即就是,,的对偶基。例6在F中给出两个基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)及=(1,1,-1),=(1,1,0),=(1,0,0)试求这两个基各自的对偶基。并写出它们作用在F中任意向量X=（x,x,x）上的表达式。解设是,,的对偶基，那么依定义应有f()=i=1,2,3于是对任意X=（x,x,x）F由X=x+x+x得(X)=((x,x,x))=x(X)=((x,x,x))
7、=x(X)=((x,x,x))=x由于从到的过渡矩阵是()=()=()A所以（）=（）(A)=（）为,,的对偶基。故(X,Y)为P上的双线性函数。（2）设A=(a)(E,E)=t(EE)=从而求出f(X,Y)在基EEEEEEEEE下的度量矩阵为B=例9设V是复数域上的线性空间，其维数2，(,)是V上的一个对称双线性函数。（1）证明：V中有非零向量，使=0；（2）如果f(,)是非退化的，则必有线性无关的向量，n满足：(,n)=1(,)=(n,n)=0证（1）由于(,)是
