第2讲 导数的应用(一)

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1、第2讲　导数的应用(一)【2013年高考会这样考】1．利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．2．由函数单调性和导数的关系，求参数的范围．【复习指导】本讲复习时，应理顺导数与函数的关系，理解导数的意义，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用，重点解决利用导数来研究函数的单调性及求函数的单调区间．基础梳理1．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线l的斜率，切线l的方程是．2．导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的．3．函数的单调性在(a，b)

2、内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上．易误警示直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．两个条件(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．三个步骤求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x

3、)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．双基自测1．(2011·山东)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)．A．－9B．－3C．9D．152．(2012·烟台模拟)函数f(x)＝x2－2lnx的递减区间是(　　)．A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(－∞，－1)，(0,1)D．[－1,0)，(0,1]3．(2012·长沙一中月考)若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为(　　)．A．1

4、B.C.D.4．(人教A版教材习题改编)在高台跳水运动中，ts时运动员相对水面的高度(单位：m)是t1(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，高台跳水运动员在t＝1s时的瞬时速度为________．5．函数f(x)＝x3－3x2＋1的递增区间是________．　　考向一　求曲线切线的方程【例1】►已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在x＝2处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[审题视点]由导数几何意义先求，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点．首先要分清是求曲线y＝f(x)在某处的切线还是求过某点曲线的切线．(1

5、)求曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程可先求f′(x0)，利用点斜式写出所求切线方程；(2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写切线方程．【训练1】若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求k的值．考向二　函数的单调性与导数【例2】►已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．[审题视点]函数单调的充要条件是f′(x)≥0或f′(x)≤0且不恒等于0..函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于0(小于或等

6、于0)，只要不在一段连续区间上恒等于0即可，求函数的单调区间解f′(x)＞0(或f′(x)＜0)即可．【训练2】已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．考向三　利用导数解决不等式问题【例3】►设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对∀x∈[a，b]都

7、有f(x)≥g(x)，可设h(x)＝f(x)－g(x)只要利用导数说明h(x)在[a，b]上的最小值为0即可．【训练3】已知m∈R，函数f(x)＝(x2＋mx＋m)ex(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围；(2)当m＝0时，求证f(x)≥x2＋x3.阅卷报告2——书写不规范失分【问题诊断】利用导数求解函数的单调区间是高考的热点内容，这类问题求解并不难，即只需由f′(x)＞0或f′(x)＜0，求其解即得.但在求解时会因书写不规范而导致失分.【防范措施】对于含有两个或两个以上的单调增区间(或单调减区间)，中间用“，