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1、华东师范大学期中/期末试卷（A）(简明答案)2007—2008学年第一学期课程名称：实变函数学生姓名：___________________学号：___________________专业：___________________年级/班级：__________________课程性质：专业必修一二三四五六七八总分阅卷人签名…………………………………………………………………………………………一.判别题(每题2分,共20分)1.设在上单调增,则的不连续点是可数的.（正确）2.不可数个闭集的交集仍是闭集.（错误）3.设是一列可测集,且则（错误）4.任意多个可测集
2、的交集是可测集.（错误）5.若在上可测,则存在型集,在上连续.（错误）6.若在上几乎处处有限,几乎处处收敛于几乎处处有限的则存在闭集,在上一致收敛于.（正确）7.是上勒贝格可积函数.（错误）8.若是上单调增连续函数,且几乎处处成立,则为常值函数.（错误）9.若是上单调严格增绝对连续函数,在满足李普西茨条件,则是上绝对连续函数.（正确）10.设在上可积,其中是上连续函数,则（正确）6二.(12分)若在可测集上,.求证:在上,证明：,因此.由于.于是所以，在上,三.(12分)设在上可积,.求证:(1)(2)证明：(1)因为在上可积，所以在上可积，因此（2）再由
3、积分的绝对连续性，6四.(12分)若是一列上有界变差函数,且求证:是上有界变差函数.证：设是的任一分割.因此是上有界变差函数.五.(12分)设是可测集,是内的一列可测子集.求证：(1)在上一致收敛于的充分且必要条件是:(2)的充分且必要条件是:证(1)对.由于或因此只能即反之,若:则这必有在上一致收敛于.(2)若,则对.但:,因此,反之,因此,由可得.6六.(12分)设在上可积,求证:(1)在上可积,;(2).证明：（1），其中是可测集，是可测函数.因此在上可测.又,此说明在上可积,.(2)因为在上可积，且在上几乎处处成立，由勒贝格控制收敛定理，.七.(1
4、0分)设是一列可测集上可积函数,在上几乎处处成立,且.是一列上可测函数,在上几乎处处成立,且.求证:.证:由法都引理，，因此，另一方面，，6因此，两不等式合起来，.八.(10分)设是可测集,是内的一列可测子集.仿第五题(1)给出在上几乎处处成立的充分且必要条件，并证明;(2)给出在上“基本上”一致收敛于的充分且必要条件，并证明.解：（1）在上几乎处处成立的充分且必要条件是.这是由于,(2)在上“基本上”一致收敛于的充分且必要条件是.充分性:若,则令则因此在上“基本上”一致收敛于.必要性:若在上“基本上”一致收敛于,则在上一致收敛于因此由第五题,存在6使此可
5、推得因此由于是单调的,6
