有限元分析的基础教程chapter

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1、4.弹性力学轴对称问题的有限元法本章包括以下内容：4.1用虚功方程建立有限元方程4.2三结点单元位移函数4.3三结点单元刚度矩阵4.4载荷移置4.5轴对称分析举例4.1用虚功方程建立有限元方程物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴，因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系（r，θ，z），以z轴为对称轴。图4.1受均布内压作用的长圆筒如图4.1所示的受均布内压作用的长圆筒，通过Z轴的一个纵截面就是对称面。由于对称性，轴对问

2、题共有4个应力分量：（4-1）其中表示沿半径方向的正应力，称为径向应力；表示沿θ方向的正应力，称为环向应力或切向应力；表示沿z方向的正应力，称为轴向应力；表示在圆柱面上沿z方向作用的剪应力。同样，轴对称问题共有4个应变分量：（4-2）其中表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变；表示沿θ方向的正应变，称为环向正应变或切向正应变；表示沿z方向的正应变，称为轴向正应变；表示沿r和z方向的剪应变。在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在径向位移u和轴向位移w，两个位移分量表示为，（4-3）在讨论弹性力学平面问题的有限元法时

3、，我们先由将弹性体划分为有限个单元的组合体，由虚功方程得到单元刚度矩阵，集成后得到整体刚度矩阵。在这里，我们用虚功方程直接得到轴对称问题的有限元列式。由虚功方程可得，外力虚功等于内力虚功或虚应变能，（4-4）其中{F}为体力，{p}为面力。将弹性体离散后，作用在弹性体上的外载荷移置到节点上，在每个节点上外力只有径向分量，轴向分量，（4-5）每个节点的虚位移也只有径向分量，轴向位移分量。（4-6）在单元中由虚位移引起的虚应变为，（4-7）单元中的实际应力为，（4-8）离散后的单元组合体的虚功方程为，（4-9）（4-10）就是单元刚度矩

4、阵。对于轴对称问题，（4-11）将（4-11）代入（4-10）可得（4-12）为整体刚度矩阵，得到方程组，（4-13）4.2三结点单元位移函数轴对称问题分析中所使用的三结点单元，在对称面上是三角形，在整个弹性体中是三棱圆环，各单元中圆环形铰相联接。参照平面问题的三角形单元位移函数，轴对称问题的三结点三角形单元位移函数取为，（4-14）图4-2三结点单元按照平面问题三角形单元的分析过程，将结点坐标和结点位移代入（4-14）得到，（4-15）（4-16）其中，（4-17），，定义形态函数为，(下标i,j,m轮换)(4-18)用矩阵表示的

5、单元位移为，(4-19)4.3三结点单元刚度矩阵轴对称问题的几何方程：（4-20）由（4-19）式得，（4-21a）（4-21b）其中，（下标轮换）（4-21c）（4-21d）（4-21e）用几何矩阵表示单元的应变，（4-22）（4-23）（下标轮换）（4-24）由于在是坐标r、z的函数，分量在单元中不为常量，其它三个应变分量在单元中仍为常量。由轴对称问题的物理方程，得到弹性矩阵，（4-25）令，，则弹性矩阵为，（4-26）由弹性矩阵[D]和几何矩阵[B]可以得到应力矩阵[S]，并计算出单元内的应力分量，（4-27）（4-28）（4

6、-27）下标轮换，可得到。由应力矩阵可知，除剪应力为常量，其它三个正应力分量都是r、z的函数。单元刚度矩阵为，（4-28）单元刚度矩阵的分块矩阵为，（4-29）由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，为简化计算，可以用三角形单元形心位置的坐标代替[B]矩阵中的变量r、z。，应变矩阵变成，（4-30）单元刚度矩阵的近似表达式为：（4-31）单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为，（4-32）(4-33)4.4载荷移置单元上的体力为{p}，与平面问题相同，由虚功方程可以得到结点载荷，(4-34)作用在单元上的面力为，结点

7、载荷为，（4-35）轴对称问题分析中，如果直接定义结点载荷，载荷值是实际弹性体上绕对称轴一周的载荷的累计结果。4.5轴对称分析实例图4-3带裙座封头的结构图4-4坯料形状图4-5成形分析的轴对称有限元模型封头作为压力容器中的重要受力部件，用户对其质量、强度、安全性等有很高的要求。带裙座封头的结构如图4-3所示，其优点是可以避免直接在封头壁上进行焊接，提高了封头的可靠性，但也增加了成形过程的难度。成形的难点在于：1）如何保证锻件的厚度；2）如何保证成形后的裙座位置。厚壁封头在热冲压成形过程中还会出现明显的局部减薄或增厚现象，严重的会导

8、致封头撕裂、起皱、模具涨裂等问题。制造带裙座封头关键之一是如何设计出一个特殊形状的坯料。普通的半球形封头采用圆饼形坯料，制造带裙座封头要采用如图4-4所示的坯料。分析整个成形过程可以发现，封头的底部明显变薄，会使封头的最小壁厚达不到设