线性代数-第五章-习题课.doc

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1、第四章　向量组的线性相关性一　重点内容1非零正交向量组，正交矩阵·非零向量正交的充要条件是：·非零正交向量组是线性无关的·齐次线性方程组Ax=O的解集(解空间)是由与A的行向量都正交的全部向量构成·[定义]若(或或)，则A是正交矩阵。·正交矩阵的性质：若A,B是正交矩阵，则①也是正交矩阵；②AB也是正交矩阵；③或－1·n阶矩阵A是正交矩阵的充要条件：A的n个列向量(或行向量)是一个正交单位向量组(即Rn的一个规范正交基)2矩阵的特征值和特征向量·[定义]若Ax=lx，其中x¹O，则数l称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于(或属于)特征值l的特征向量。·设n阶矩阵A的全部

2、特征值为，则①[tr(A)是A的n个主对角元之和，称为A的迹]②·设l0是矩阵A的一个特征值，是对应于特征值l0的特征向量，则，①kl0是kA的一个特征值；②是的一个特征值；③是的一个特征值；[其中，是关于变量x的k次多项式，]④若A可逆，是的一个特征值.且仍是以上各矩阵分别属于kl0,,,的特征向量.·A和AT有相同的特征值(即特征多项式相同)，但特征向量不一定相同。·矩阵A对应于不同特征值的特征向量线性无关。3相似矩阵·[定义]若(其中P是可逆矩阵)，则称A和B相似·若A和B相似，则①和相似；②和相似；·相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。·矩阵A可对角化是指：存

3、在可逆矩阵P，使得A和对角阵相似，即·n阶矩阵A可对角化的条件：①A有n个线性无关的特征向量(充分必要条件)；②每个特征值的重数=对应于该特征值的线性无关的特征向量的最大个数(充分必要条件)；③n阶矩阵A有n个互异的特征值(充分条件)；④n阶矩阵A是实对称矩阵(充分条件)。·若n阶矩阵A可对角化()，则对角阵的主对角元就是A的n个特征值；可逆阵P的n个列向量是对应于各特征值的线性无关的特征向量。4实对称矩阵·实对称矩阵的特征值都是实数。·实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交。·对于n阶实对称矩阵A，必存在正交矩阵Q，使得其中对角阵的主对角元就是A的n个特征值；正交阵Q的

4、n个列向量是对应于各特征值的正交单位特征向量。5合同矩阵·[定义]若(其中C是可逆矩阵)，则称A和B合同。·性质：若矩阵A和B合同，则6化二次型为标准形·[定义]n元二次型是n元二次齐次多项式(双重连加号表示法，其中aij=aji)(矩阵表示法，其中，是n阶实对称矩阵)·对于任一n元二次型，存在正交变换x=Qy(Q为n阶正交矩阵)，使得或者说，对任一n阶实对称矩阵A，存在正交阵Q，使得其中对角阵的主对角元就是A的n个特征值；正交阵Q的n个列向量是对应于各特征值的正交单位特征向量。·对于任一n元二次型，存在可逆的线性变换x=Cy(C为n阶可逆矩阵)，使得或者说，对任一n阶实对称矩

5、阵A，存在可逆阵C，使得[用不同的可逆线性变换化二次型为标准形，其标准形一般是不同的]7二次型正定性的判别·惯性定理：对于一个二次型，不论作怎样的可逆线性变换使之化为标准形，其中正平方项的项数p(正惯性指数)和负平方项的项数q(负惯性指数)都是唯一的.·对于n阶实对称矩阵A，以下命题等价(互为充要条件)：①xTAx是正定二次型(或A是正定矩阵)；Û②xTAx的标准形的n个系数全大于零(或A的正惯性指数为n，亦即A合同于E)；Û③存在可逆矩阵P，使得A=PTP；Û④A的n个特征值全大于零.Û⑤A的n个顺序主子式的值全大于零.·对于n阶实对称矩阵A，以下命题等价：①xTAx是负定二

6、次型(或A是负定矩阵)；Û②xTAx的标准形的n个系数全小于零(或A的负惯性指数为n，亦即A合同于－E)；Û③存在可逆矩阵P，使得A=－PTP；Û④A的n个特征值全小于零.Û⑤A的奇数阶顺序主子式小于零，偶数阶顺序主子式大于零.二　典型题型：1正交单位向量组、正交矩阵⑴施密特正交化方法施密特正交化方法是将一组线性无关的向量，作特定的线性运算，构造出正交单位向量组的方法。步骤如下：①将正交化：取；……………..…………以上步骤给出的向量两两正交；②再将单位化：,,…,利用施密特正交化方法，可将向量空间的一组基规范正交化(即构造出一个规范正交基)例1已知是R3的一组基，用施密特正交

7、化方法，构造出R3的一组规范正交基。解取再将单位化，得R3的规范正交基⑵求非零向量，与已知的线性无关的向量组正交基本方法是：设是n维向量，根据“齐次线性方程组Ax=O的解集合是由与A的行向量都正交的全部向量构成”，构造矩阵，显然解Ax=O，得基础解系(含n－r个线性无关的解向量)，基础解系的任意非零组合都是与正交的非零向量。例2设，，求与都正交的非零向量.解建立齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系于是是与正交的全部非零向量例3设，求两个非零向量，与共同构成一个正交向量组.解建立齐次线性方程