2018年高考数学专题26一元二次不等式及其解法热点题型和提分秘籍理

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1、专题26一元二次不等式及其解法1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型。2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。K热点题型』热点题型一一元二次不等式的解法例1、解关于x的不等式：ax—（a+l）x+KOo解析：当°=0时，原不等式可化为-X+R0,即Q1。当go时〉原不等式可化为（处-1）（只-1）＜0＞即&-软即为,所以Q1或於舟。当Q0时，原不等式可化为&一比①若gKl,则》所以1心弓。②若0=1,贝€=1,所以不等式无解。③若则所以治＜1。综上知，当仪〈0时，不等式的解集为｛”水牛或Q1当白=0时，

2、不等式的解集为｛x

3、x＞l｝；当0幺＜1时，不等式的解集为plKK-^｝；当臼=1时，不等式的解集为0；当日＞1时，不等式的解集为卜**1］。【提分秘籍】解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式。(2)判断方程的根的个数，讨论判别式力与0的关系。(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式。【举一反三】解关于x的不等式X—(臼+l)x+臼<0。解析：原不等式可化为当XI时，不等式等价于,当4=1时，不等式解集为

4、叭当fl>l时，不等式等价于1<*4。综上，XI时，解集为側d=l时解集为叭Q1时解集为側1<*0}。热点题型二一元二次不等式恒成立问题例2、已知函数A^)=/+^+3o⑴当圧R吋，恒成立，求臼的取值范围；(2)当胆［一2,2］时,fgMa恒成立，求白的取值范围。解析：日即#+日*+3—日20,要使久WR时，,+日/+3—已20恒成立，应有力=/_4(3—刃W0,即才+4日一12W0,解得一6W臼W2。(2)当xW［—2,2］时,设g{x)=x+ax--3—爲。分以下三种情况讨论：①当一孑W—2,即心4时，g(0在［一2,2］上单调递增,g(

5、x)在［—2,2］上的最小值为g(—2)=7—3白,因此7—3臼30,白无解;②当一*2,即自W—4时，水方在［—2,2］上单调递减，gCr)在［—2,2］上的最小值为&(2)=7+白,曰W—4因此r解得—7W&W—4；7+心0,8/3③一2V--<2,即一4V臼V4吋，咖在［-2,2］上的最小值为片一0)=—亍一自+3,-4

6、谁当主元，求谁的范I韦I,谁就是参数。(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图彖在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方。【举一反三】对任意g［—1,1］,函数曰一4)丸+4—2臼的值恒大于零，求/的取值范围。解析：由+4烹+4—2口=(x—2)口+酹—4x+4>令2)a+j2—4x+4o由题意知在［-1J］上〉页2)的值恒大于零,-1=X—2x-1+求一抵+4>0''［g1=x—2+h—4x+4>6解得hvI或Q3。故当工的取值范围为(-co,1)U(3,+s)时，对任意

7、的函数型的值恒大于零。热点题型三一元二次不等式的实际应用例3.某商品2014年的价格为8元/件，年销量是自件。现经销商计划在2015年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件Z间，经调查，顾客的期望价格是4元/件。经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为乩该商品的成本价为3元/件。(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；(2)设k=2&,当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2015年的收益比2014年至少增长20%?解析：(1)设该商品价格下降后为/元/件，则由

8、题意可知年销量增加到(占+»件，故经销商的年收益尸(占+』匕一3),5.5W/W7.5o(2)当k=2s时，依题意有乍刁■+弓匕一3)2(8—3)白X(1+20%),v—11v-

9、-30化简得N0,解得或4〈xW5。x~又5.5W/W7.5,故6W/W7.5,即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2015年的收益比2014年至少增长20%。【提分秘籍】构建不等式模熨解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产屮的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题冃中各量之间的关系，建立

10、恰当的不等式模型进行求解。【举一反三】某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆。本年度为适应市场