非线性有限元作业

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1、非线性有限元1.2对于梁的动力方程代心二的八确定方程类型。解：设%=aut,f=auxo所以：(i-D(1-2)(1-3)的二入/禺=0•fs=/Xt/Zg.s二比(1-4)结合公式(1-1)~(1-4)得到：000a■//•Avx*01・10f{0Az=—(1-5)X」00◎A_00X』&.因为det(A)=0,所以得到：ax}=0A(1-6)所以b2-^=o2-(nz=o,所以梁的动力方程为抛物线型。2.3考虑一个逐渐变细的两节点单元，采用如例2.4中更新的Lagrangian格式的线性位移场。它的当前横截面面积为A=AG・g)

2、+A也，其中A1和A2分别为节点1和2处的当前横截面积。对于更新的Lagrangian格式，以Cauchy应力的形式建立内部节点力，假设eqd-O+qg,其中°和①分别是节点1和2处的Cauchy应力。对于常体力问题建立外部节点力。解：速度场为：1v.(t)(2-1)V(X,t)=-[X2-XX・Xj2'/o也(H其中:N(X)二-[X2-XX-XJ'o用单元坐标的形式，则速度场为：由于位移是速度的时间积分，而§与时间无关，则曲于x=X+u,所以X・X](2-2)(2-3)x(§Q二[1-g§]x,t),x.=x2^=l(2-4)

3、其中，/是单元的当前长度。我们可以用Eulerian坐标的形式表示/尸X-X]尸1rt(2-5)由链规则得到B矩阵:B=N=N^[-1](2-6)所以变形率为(2-7)所以得到内部节点力为:X2Xy(2-8)f；nl=JBT(yAdx=xx将公式（2-8）进行积分得到内部节点力:外部节点力为:f;n,=討5+gA0+£(A5+A20厂-11f：Xt=jxlbAdx+公式（2・9）屮，右边第二项只有单元节点处在力边界上时，才做出贡献。点的积分方法与求解内部节点的积分方法相同，最后得到的外部节点力为：{eXt=pbl_2Al+

4、A2€[M2A2(2-9)求解外部节3.1考虑在图3・4中所示的单元。设运动为x=X+Yt,y=Y+^Xt（a）在匸1时拉伸单元。计算此刻的变形梯度和Green应变张最，解释在Green应变屮非零项的物理意义。(b)计算t=l吋单元的速度和加速度(c)计算t=l时单元的变形率和角加速度(d)在匸().5时重复以上步骤(e)计算作为时间函数的J行列式，并确定多长时间行列式保持正值。当J行列式改变符号时拉伸单元，此吋你能看到什么运动。解：山已知得运动的表达式为：y11-t2(3-1)ax一亦也3XAax也ax■3X一3y也弁dxdr也d

5、y其Green应变张量为：E=1(FtF-I)=-22(1「1t'1-12t1匕1L2J-1111丿831—t4231—t—42匚(3-3)因此t=l时刻和匸0.5时刻的Green应变张最为:「11■E严841I_42.11E0.5=32811■■■88此处矩阵笫一行笫一列项表示沿x方向的应变量,第一行第二列项和第二行第一列项所以变形梯度为:(3-2)因此t=l时刻和匸0.5时刻的变形梯度为:表示xy方向的切应变量，第二行第二列项表示y方向的应变量。单元的速度为：'0X丄0ur■yIrJL2J(3-4)所以单元的加速度为:(3-

6、5)由公式(3-4)和公式(3-5)可以看出，不管何吋刻，单元的速度和加速度都不变。100X■-12_>—1・12-22-1、■0r_8-4'Xc>2^^177Yi_20-28-J7_2xy-27487结合公式(3-1)和公式(3-4)得到t=l时刻和t=0・5时刻的速度表达式:所以速度梯度为:2-1得到变形率和角速度为:-11.51.5-1-2q冷九+：)=6767-27o-0.50.501T4).5二2(厶0.5丸)=2根据公式(3-2)Jacobian行列式为:J=det(F)=]-t12令J=0,得出t=1.414o因此在1

7、.414时刻前，行列式一直保持为正值，在1.414时刻，行列式为0,此时三角形单元的3个点共线,在1.414时刻之后，J行列式为负值，此时三角形单元发生歪曲现象。