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《问题5.6数列中的探索性问题（原卷版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2017届高三数学跨越一本线精品问题六：数列中的探索性问题近儿年的高考试卷中经常出现以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查学生的探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型：规律探索性问题;条件探索性问题；结论探索性问题•现将这三类问题的解法总结如卜供同学们学习时参考.题型一：条件探索性问题对于条件开放的探索性问题，往往釆用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所盂的条件.另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答.【例1】［2016届江苏省扬州中学高三
2、12月月考】已知数列｛色｝为等差数列,q=2,｛陽｝的前〃和为S”,数列｛—｝为等比数列,且+a占◎+。診3+…+cinbn=(h—1)•2"+~+4对任意的&wN*怛成立.(I)求数列｛%｝、｛bn｝的通项公式：(II)是否存在非零整数2,使不等式2(1_丄)(1一丄)……(1一丄)cos止V〒匚对qs52后1一切HG都成立？若存在，求出2的值；若不存在，说明理由.(III)各项均为正整数的无穷等差数列｛c“｝,满足C39=%07，且存在正整数k,使cpc39,q成等比数列，若数列｛c”｝的公差为d,求d的所有可能取值之和.【分析】(I)因为+a2b2+a3b3+--+anbn=
3、(n-1)•2W+2+4任意的heN*恒成立,所以取77=1,2,3,乂知｛色｝为等差数列，｛仇｝为等比数列，设出首项，公差，公比解方程ajr组即口J；(ID)由a=2n,得cos=cos(n+1)^=(-l),l+1,设2b=!，则不等式等价于(-ir+iA<^，问题转化为求亿的最n111nn(1—)(1—)・•・(1—+14a2an小值，因仇〉0,利川孕=/2("：1)>1知仇单调递增，求仇的最小值，再根据bn/2n+l<2/?+3(-l)n+,20时,q=2014—38d=38(53—d)>0n53—〃>0d>0C39=
4、q+38d=2014nq=2014—38〃，=C39+伙一39)d=2014+伙—39)〃，ill等比中项知©9=g,化简得-伙一39)沪+53伙一77)d=0=>(k—39)d=53伙一77),CQyQQ整理得：k=39+^^wN=rh53—d53—d以53>53—d〉0,根据亠dwAT,故53—d=l，2，19,从而d=52,51，34,所以公差d的所有可能取值Z和为137.【解析】（I）法1：设数列｛§｝的公差为d,数列｛氏｝的公比为q・因为6毎+a2b2+《£+•••+吸=（«一1）•2"+4（旳eN0）令比=12=3分别得d]®=4>©角+勺方2=20,©毎+<7：鼻+冬
5、鸟=68,又a】=2坷=砂=2所以丿么上=16即■■^i=_i或"2'2冷=&不合题意，舍去.6=6kn+b即(g£—2切/?+(bq—kq—2b+2k)n—qb=0斌FPnwN*jt(成立,所以◎=2%g=2"・法2：因为a】/?]+a占2+a3S+°—卜=(〃一1)*2""+4①对任意的neN*恒成立则6Zj/?
6、+Qfbf+a3^3+…+肉-i=(斤—2)•2"+i+4(〃n2)②①—②得a„bn=n-2n+l(n>2)f又afy=4,也符合上式,所以anbn=n-2n+l(neN^)由于｛◎｝为等差数列,令5=kn+b,则bn-—,qk—2k=0・•・7、k=0,所以q=2,b=0.-qb=O又q=2,所以"2,故an=2n,bn=2(II)由色=2/7,得cos=cos(n+V)7r=(-1)/,+1,2设仇二1，则不等式等价于（―1）^2v亿・（1_丄）（1_丄）…（1_丄）“+1・・・乞＞0,口如==〉1,・••仇+
8、＞仇，数列｛仇｝单调递增.bflQ2n+Z2n+32（〃+1）假设存在这样的实数2,使得不等式（-1）?,+12＜/7?1对一切hgN*都成立，则①当〃为奇数时,得2v(bn)min=b=②当川为偶数吋，得一久＜（仇）斷二方2吃,帕〉-座.1515综上,rh2是非零整数，可知存在久=±1满足条件.（III）易
9、知d=0,成立.当d>0时，c39=c，+38^/=2014c(=2014-38J,q=幺9+伙一39)6/=2014+伙一39)d,4=g=>(2014-38rf)[2014+伙—39)〃]=2014)=>38(53—d)[2014+(£—39)d]=2014x2014,=>(53—d)[2014+(P—39)d]=53x2014,=>—伙—39)+53伙一77)〃=0=>伙—39)d=53伙一77),=>kd-39d=53£—53x107=>(〃一53冰=39d-
