函数(定义、定义域、值域)

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1、一.映射/：ATB的概念。在理解映射概念时要注意：A中元素必须都有象且唯一；㈡B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：(1)设是集合M到N的映射，下列说法正确的是A、M中每一个元素在N中必有彖B、N中每一个元素在M中必有原象C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的D、N是M中所在元素的象的集合(答：A)；(2)点«")在映射/的作用下的象是(a—b,a+b),则在/作用下点(3,1)的原象为点(答：(2,-1))；(3)若A={1,2,3,4}，B={aM，a,b,cwR，则A到B的映射有_个，B到A的映射有—个，A到B的函数有—个(答：81,64,81)；(

2、4)设集合M二{—1,0,1},"={1,2,3,4,5},映射f:MTN满足条件“对任意的M,x+/(x)是奇数”，这样的映射/有个(答:12)；(5)设是集合A到集合B的映射，若B二{1,2},则AAB-定是(答：0或⑴)•二.函数/：ATB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如:(1)已知函数f(x),xgF,那么集合{(兀,刃

3、y=于(兀)，兀eF}Q{(x,y)

4、x=l}中所含元索的个数有个(答：0或1)；1r(1)若函数y=-x2-2x+4的定义域

5、、值域都是闭区间[2,2/2],则(答：2)一.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”,那么解析式为y=x2,值域为｛4,1｝的“天一函数”共有个(答：9)二.求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则)：1.根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log“兀中7F7T520且“1,三角形中0C5,最大角违，最小角订等。如(1)函数y

6、=Zp的定义域是lg(x-3)2(2)(答：(0,2)U(2,3)U(3,4))；若函数—的定义域为R,则Rwkx+4h:+3(答:函数/(兀)的定义域是［a,b］fb>-a>Of则函数F(x)=/(%)+/(-%)的定义域是(答:[a,—a])；(4)设函数/(x)=lg(ax2+2x+l),①若/O)的定义域是R,求实数a的収值范围；②若/(x)的值域是R,求实数a的取值范围(答：①a>l；@0<6/<1)2.根据实际问题的要求确定自变量的范围。3.复合函数的定义域：若已知/(x)的定义域为［a,b］,其复合函数f［g(x)］的定义域由不等式a

7、出即可；若已知,/L?(x)J的定义域为［⑦刃，求/(力的定义域，相当于当xe［a.b］时,求g(x)的值域(即/(兀)的定义域)。如(1)若函数_y=/(兀)的定义域为丄,2,则/(log2x)的定义域为(答：{r

8、V2

9、给区间的相对位置关系)，如(1)求函数y=x2-2x+5,xg［-1,2］的值域(答：［4,8］)；(2)当xg(0,2］吋，函数/(x)=q2+4(q+1)x_3在兀=2吋取得最大值，则a的取值范围是—(答:an—)；2(3)已知/(x)=3Y-,?(2

10、J兀一1的值域为(答：(3,+8))(2)y=sin兀+cosx+sinMiosx的值域为(答：［一1,空+)；(4)j?=x+4+V9-x2的值域为(答:[1.3V2+41)；3.函数有界性法一一直接求函数的值域困难时，可以利用己学过函数的有界性，來确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如4.5.求函数尸严0；1,『3“1+sin&2sin£-l的值域1+3"l+cos&13（答：（一°°,—］、（0,1）、（一8,—］）；22单调性法一一利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求y二%-—(1

11、y=2'-